Questão 3. Dada as equações diferenciais abaixo, determine a expressão da sua solução temporal y(t) por meio da transformada de Laplace para uma entrada
tipo degrau unitário e condições iniciais nulas. Para cada caso, determine o valor em regime permanente após a aplicação do degrau unitário (isto é: a entrada varia de 0 a 1 no instante de tempo igual a 0 segundos e permanece em 1 para tempos positivos).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais nulas e entrada degrau unitário. Vamos listar claramente o que foi pedido e o que foi dado:
- Equação diferencial:
- Entrada:
é um degrau unitário (ou seja, , que vale 0 para e vale para ). - Condições iniciais: nulas, isto é
e . - O que o enunciado pede:
- Determinar a expressão temporal
para usando a transformada de Laplace. - Determinar o valor em regime permanente (ou seja,
) após a aplicação do degrau unitário.
- Determinar a expressão temporal
Passo 2
Breve lembrete das fórmulas da transformada de Laplace que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
- A transformada de Laplace de uma função
é . - Transformada do degrau unitário:
. - Transformada da derivada primeira:
. - Transformada da derivada segunda:
.
Aquié a transformada de e são as condições iniciais.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial inteira. Como as condições iniciais são nulas (
e
) a transformada das derivadas simplifica bastante.
Transformando termo a termo:
e do lado direito
Portanto a equação transformada fica
Passo 4
Fatorar
na equação acima:
logo
Agora fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
Assim
Passo 5
Vamos decompor
em frações parciais, porque sabemos as transformadas inversas padrão de termos do tipo
e
.
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para achar
é mais rápido usar valores convenientes de
:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Portanto
Passo 6
Agora fazemos a transformada inversa termo a termo usando pares conhecidos:
-
(para ), -
.
Aplicando isso a cada fração:
Portanto, a solução temporal é
Passo 7
Verificações rápidas (ajudam a confiar no resultado):
- Valor inicial
:
coerente com a condição inicial
.
- Derivada em
:
logo
, também coerente com
.
Passo 8
Determinar o valor em regime permanente
.
Como os termos exponenciais decaem para zero quando
, resta apenas a constante:
Alternativamente poderia usar o Teorema do Valor Final:
mesmo resultado.
Passo 9
Resumo final amigável: a resposta completa é a função exponencial somada a uma constante e o valor de regime permanente é
. Aguenta firme — esse tipo de problema tem sempre esse passo a passo: transformar, isolar
, decompor e inverter. Dá para fazer na prova tranquilo se decorar as transformadas básicas e a técnica de frações parciais.