Questão 3. Dada as equações diferenciais abaixo, determine a expressão da sua solução temporal y(t) por meio da transformada de Laplace para uma entrada \mathrm{x}(\mathrm{t}) tipo degrau unitário e condições iniciais nulas. Para cada caso, determine o valor em regime permanente após a aplicação do degrau unitário (isto é: a entrada varia de 0 a 1 no instante de tempo igual a 0 segundos e permanece em 1 para tempos positivos).
\frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}^{2}}+10 \frac{\mathrm{dy}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}+24 \mathrm{y}(\mathrm{t})=4 \mathrm{x}(\mathrm{t})

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condições iniciais nulas e entrada degrau unitário. Vamos listar claramente o que foi pedido e o que foi dado:
  • Equação diferencial:
\frac{\mathrm{d}^{2} y(t)}{\mathrm{d}t^{2}} + 10\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t} + 24\,y(t) = 4\,x(t).
  • Entrada: x(t) é um degrau unitário (ou seja, x(t)=u(t), que vale 0 para t<0 e vale 1 para t\ge 0).
  • Condições iniciais: nulas, isto é y(0)=0 e y'(0)=0.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a expressão temporal y(t) para t\ge 0 usando a transformada de Laplace.
    2. Determinar o valor em regime permanente (ou seja, \lim_{t\to\infty} y(t)) após a aplicação do degrau unitário.

Passo 2

Breve lembrete das fórmulas da transformada de Laplace que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Transformada do degrau unitário: \mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s}.
  • Transformada da derivada primeira: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
  • Transformada da derivada segunda: \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
    Aqui Y(s) é a transformada de y(t) e y(0),y'(0) são as condições iniciais.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial inteira. Como as condições iniciais são nulas ( y(0)=0 e y'(0)=0) a transformada das derivadas simplifica bastante.
Transformando termo a termo:
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s), \qquad \mathcal{L}\{10y'(t)\}=10\big(sY(s)\big), \qquad \mathcal{L}\{24y(t)\}=24Y(s),
e do lado direito
\mathcal{L}\{4x(t)\}=4\cdot\mathcal{L}\{u(t)\}=4\cdot\frac{1}{s}=\frac{4}{s}.
Portanto a equação transformada fica
s^{2}Y(s)+10sY(s)+24Y(s)=\frac{4}{s}.

Passo 4

Fatorar Y(s) na equação acima:
\big(s^{2}+10s+24\big)Y(s)=\frac{4}{s},
logo
Y(s)=\frac{4}{s\big(s^{2}+10s+24\big)}.
Agora fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
s^{2}+10s+24=(s+4)(s+6).
Assim
Y(s)=\frac{4}{s(s+4)(s+6)}.

Passo 5

Vamos decompor Y(s) em frações parciais, porque sabemos as transformadas inversas padrão de termos do tipo \dfrac{1}{s} e \dfrac{1}{s+a}.
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{4}{s(s+4)(s+6)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+4}+\frac{C}{s+6}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+4)(s+6) obtemos a identidade polinomial
4 = A(s+4)(s+6) + B\,s(s+6) + C\,s(s+4).
Para achar A,B,C é mais rápido usar valores convenientes de s:
  • Tomando s=0:
4 = A\cdot 4\cdot 6 = 24A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.
  • Tomando s=-4:
4 = B\cdot (-4)\cdot 2 = -8B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}.
  • Tomando s=-6:
4 = C\cdot (-6)\cdot (-2) = 12C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+4} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+6}.

Passo 6

Agora fazemos a transformada inversa termo a termo usando pares conhecidos:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1 (para t\ge 0),
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}.
Aplicando isso a cada fração:
y(t)=\frac{1}{6}\cdot 1 - \frac{1}{2} e^{-4t} + \frac{1}{3} e^{-6t},\qquad t\ge 0.
Portanto, a solução temporal é
\boxed{\,y(t)=\frac{1}{6} - \frac{1}{2}e^{-4t} + \frac{1}{3}e^{-6t},\quad t\ge 0\,}.

Passo 7

Verificações rápidas (ajudam a confiar no resultado):
  • Valor inicial y(0):
y(0)=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1-3+2}{6}=0,
coerente com a condição inicial y(0)=0.
  • Derivada em t=0:
y'(t)= -\frac{1}{2}(-4)e^{-4t} + \frac{1}{3}(-6)e^{-6t}=2e^{-4t}-2e^{-6t},
logo y'(0)=2-2=0, também coerente com y'(0)=0.

Passo 8

Determinar o valor em regime permanente y_{\infty}=\lim_{t\to\infty} y(t).
Como os termos exponenciais decaem para zero quando t\to\infty, resta apenas a constante:
y_{\infty}=\frac{1}{6}.
Alternativamente poderia usar o Teorema do Valor Final:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s)=\lim_{s\to 0} \frac{4}{(s+4)(s+6)}=\frac{4}{4\cdot 6}=\frac{1}{6},
mesmo resultado.

Passo 9

Resumo final amigável: a resposta completa é a função exponencial somada a uma constante e o valor de regime permanente é \tfrac{1}{6}. Aguenta firme — esse tipo de problema tem sempre esse passo a passo: transformar, isolar Y(s), decompor e inverter. Dá para fazer na prova tranquilo se decorar as transformadas básicas e a técnica de frações parciais.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}e^{-4t}+\dfrac{1}{3}e^{-6t}
y_{\infty}=\dfrac{1}{6}

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