Determine as componentes par e ímpar do sinal x(t)=u(t).
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: foi dado x(t)=u(t)\) (função degrau unitário) e a tarefa é encontrar as componentes par \(x_e(t)\) e ímpar \(x_o(t)\) desse sinal. Informação usada sobre \(u(t)\): considero a definição usual
\[u(t)=\begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] 0, & t<0, \end{cases}
e para o ponto t=0\] adoto o valor de meia altura \(\,u(0)=\tfrac{1}{2}\, (essa escolha é padrão quando se quer decompor em parte par/ímpar, e evita contradições). Não vou pedir mais nada — com essa convenção dá para resolver tudo.]
Passo 2
Fórmulas básicas (aquelas que são a “receita” para qualquer decomposição par/ímpar):
Explicando rápido: x_e é a parte par (simétrica: x_e(t)=x_e(-t)) e x_o é a parte ímpar (anti-simétrica: x_o(-t)=-x_o(t)). Essas fórmulas sempre se aplicam para qualquer sinal x(t).
Passo 3
Vamos obter x(-t) a partir de x(t)=u(t). Usando a definição de u:
Se t>0 então -t<0, logo x(-t)=u(-t)=0.
Se t<0 então -t>0, logo x(-t)=u(-t)=1.
Se t=0 então x(-0)=x(0)=u(0)=\tfrac{1}{2} (pela convenção adotada).
Passo 4
Calcular x_e(t) e x_o(t) para t>0.
Para t>0 temos x(t)=1 e x(-t)=0. Substituindo nas fórmulas:
Juntando os resultados: a componente par é constante e igual a \tfrac{1}{2} para todo t. A componente ímpar é \tfrac{1}{2} para t>0, -\tfrac{1}{2} para t<0 e 0 em t=0. Isso pode ser escrito de forma compacta usando a função sinal \operatorname{sgn}(t), definida por