Determine as componentes par e ímpar do sinal x(t)=u(t).

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: foi dado x(t)=u(t)\) (função degrau unitário) e a tarefa é encontrar as componentes par \(x_e(t)\) e ímpar \(x_o(t)\) desse sinal. Informação usada sobre \(u(t)\): considero a definição usual \[u(t)=\begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] 0, & t<0, \end{cases}
e para o ponto t=0\] adoto o valor de meia altura \(\,u(0)=\tfrac{1}{2}\, (essa escolha é padrão quando se quer decompor em parte par/ímpar, e evita contradições). Não vou pedir mais nada — com essa convenção dá para resolver tudo.]

Passo 2

Fórmulas básicas (aquelas que são a “receita” para qualquer decomposição par/ímpar):
x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}, \qquad x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.
Explicando rápido: x_e é a parte par (simétrica: x_e(t)=x_e(-t)) e x_o é a parte ímpar (anti-simétrica: x_o(-t)=-x_o(t)). Essas fórmulas sempre se aplicam para qualquer sinal x(t).

Passo 3

Vamos obter x(-t) a partir de x(t)=u(t). Usando a definição de u:
  • Se t>0 então -t<0, logo x(-t)=u(-t)=0.
  • Se t<0 então -t>0, logo x(-t)=u(-t)=1.
  • Se t=0 então x(-0)=x(0)=u(0)=\tfrac{1}{2} (pela convenção adotada).

Passo 4

Calcular x_e(t) e x_o(t) para t>0.
Para t>0 temos x(t)=1 e x(-t)=0. Substituindo nas fórmulas:
x_e(t)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}, \qquad x_o(t)=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular x_e(t) e x_o(t) para t<0.
Para t<0 temos x(t)=0 e x(-t)=1. Substituindo:
x_e(t)=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}, \qquad x_o(t)=\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Calcular x_e(0) e x_o(0) no ponto t=0.
Como x(0)=x(-0)=\tfrac{1}{2},
x_e(0)=\frac{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}, \qquad x_o(0)=\frac{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}}{2}=0.

Passo 7

Juntando os resultados: a componente par é constante e igual a \tfrac{1}{2} para todo t. A componente ímpar é \tfrac{1}{2} para t>0, -\tfrac{1}{2} para t<0 e 0 em t=0. Isso pode ser escrito de forma compacta usando a função sinal \operatorname{sgn}(t), definida por
\operatorname{sgn}(t)=\begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] 0, & t=0,\\[4pt] -1, & t<0. \end{cases}
Então
x_e(t)=\frac{1}{2}, \qquad x_o(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sgn}(t).]

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança na prova): some as partes:
x_e(t)+x_o(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\operatorname{sgn}(t).
  • Se t>0: dá \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot1=1=u(t).
  • Se t<0: dá \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot(-1)=0=u(t).
  • Se t=0: dá \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot0=\tfrac{1}{2}=u(0).
    Portanto a decomposição está correta.

Resposta

[x_e(t)=\dfrac{1}{2})
(x_o(t)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(t)= \begin{cases}\dfrac{1}{2}, & t>0,\\[6pt]0, & t=0,\\[6pt]-\dfrac{1}{2}, & t<0.\end{cases}]]

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