Avalie os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\operatorname{sen} x}{5 \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^+} \frac{\operatorname{sen} x}{5\sqrt{x}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a 0 pela direita (ou seja, x>0 e x\to0).
  • O numerador é \operatorname{sen} x (vou usar a notação \sin x nas contas).
  • O denominador é 5\sqrt{x}.
O objetivo é determinar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Verificar os limites separados para ver o tipo de indeterminação:
  • \lim_{x\to0^+}\sin x = 0.
  • \lim_{x\to0^+}5\sqrt{x} = 0.
Logo a expressão tem a forma 0/0, isto é, uma indeterminação. Precisamos de um argumento para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Vamos usar uma desigualdade clássica que é muito útil: para todo x\ge0 vale
\sin x \le x.
Uma prova simples dessa desigualdade é considerar a função f(x)=x-\sin x. Tem-se f(0)=0 e
f'(x)=1-\cos x\ge 0\quad\text{para }x\ge0,
pois \cos x\le1. Assim f é crescente em [0,\infty), então f(x)\ge f(0)=0, ou seja \sin x\le x. Além disso, para x\ge0 temos \sin x\ge0. Portanto, para x\ge0
0 \le \sin x \le x.

Passo 4

Dividindo a desigualdade pelo número positivo 5\sqrt{x} (válido porque para x>0 temos \sqrt{x}>0), obtemos
0 \le \frac{\sin x}{5\sqrt{x}} \le \frac{x}{5\sqrt{x}}.
Simplificando a fração do lado direito:
\frac{x}{5\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{x}}{5\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{5}.
Logo para x>0
0 \le \frac{\sin x}{5\sqrt{x}} \le \frac{\sqrt{x}}{5}.

Passo 5

Agora calculamos o limite da função do lado direito quando x\to0^+:
\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{5} = \frac{1}{5}\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}= \frac{1}{5}\cdot 0 = 0.
Portanto temos uma desigualdade do tipo
0 \le \frac{\sin x}{5\sqrt{x}} \le \frac{\sqrt{x}}{5},
em que os extremos têm limite 0 quando x\to0^+.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Sanduíche), se uma função fica entre duas outras cujos limites são iguais, então o limite da função do meio é o mesmo. Assim
\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{5\sqrt{x}} = 0.

Passo 7

Observação alternativa (mais curta): pela equivalência \sin x \sim x quando x\to0, tem-se
\frac{\sin x}{5\sqrt{x}}\sim\frac{x}{5\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{5}\to 0.
Ou, se quiser, poderia aplicar a regra de l’Hôpital (derivando numerador e denominador) e chegar ao mesmo resultado. Ambas as abordagens confirmam o valor encontrado.

Resposta

0

Exercícios relacionados