Avalie os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende a pela direita (ou seja, e ). - O numerador é
(vou usar a notação nas contas). - O denominador é
.
O objetivo é determinar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Verificar os limites separados para ver o tipo de indeterminação:
-
. -
.
Logo a expressão tem a forma
, isto é, uma indeterminação. Precisamos de um argumento para resolver essa indeterminação.
Passo 3
Vamos usar uma desigualdade clássica que é muito útil: para todo
vale
Uma prova simples dessa desigualdade é considerar a função
. Tem-se
e
pois
. Assim
é crescente em
, então
, ou seja
. Além disso, para
temos
. Portanto, para
Passo 4
Dividindo a desigualdade pelo número positivo
(válido porque para
temos
), obtemos
Simplificando a fração do lado direito:
Logo para
Passo 5
Agora calculamos o limite da função do lado direito quando
:
Portanto temos uma desigualdade do tipo
em que os extremos têm limite
quando
.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Sanduíche), se uma função fica entre duas outras cujos limites são iguais, então o limite da função do meio é o mesmo. Assim
Passo 7
Observação alternativa (mais curta): pela equivalência
quando
, tem-se
Ou, se quiser, poderia aplicar a regra de l’Hôpital (derivando numerador e denominador) e chegar ao mesmo resultado. Ambas as abordagens confirmam o valor encontrado.