Seja f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor-x\rfloor.
a) Para que valores de a \lim _{x \rightarrow a} f(x) existe.
b) Em que números f é contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor -x\rfloor
e pede duas coisas:
  • (a) Para quais valores de a o limite \lim_{x\to a} f(x) existe.
  • (b) Em que números f é contínua.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f em termos da função piso (ou parte inteira) \lfloor\cdot\rfloor. Nada mais foi dado; toda a análise deve partir da propriedade da função piso.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é \lfloor x\rfloor: é o maior inteiro menor ou igual a x. Outra função útil é o teto (ou arredondamento para cima) \lceil x\rceil, o menor inteiro maior ou igual a x. Uma relação importante que vamos usar é
\lfloor -x\rfloor = -\lceil x\rceil.
Explicação rápida dessa identidade: se m=\lfloor -x\rfloor então m\le -x< m+1. Multiplicando por -1 e invertendo as desigualdades obtém-se -m-1< x\le -m, o que diz que -m=\lceil x\rceil. Logo m=-\lceil x\rceil.

Passo 3

Calcular f(x) quando x não é inteiro. Seja x\notin\mathbb{Z}. Então existe um inteiro n tal que n<x<n+1. Escrevendo x=n+t com t\in(0,1), temos
\lfloor x\rfloor = n.
Para \lfloor -x\rfloor note que -x = -n - t com -n-1< -n - t < -n, portanto
\lfloor -x\rfloor = -n-1.
Somando,
f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor -x\rfloor = n + (-n-1) = -1.
Conclusão: para todo x\notin\mathbb{Z} vale f(x)=-1.

Passo 4

Calcular f(x) quando x é inteiro. Seja x=n\in\mathbb{Z}. Então
\lfloor x\rfloor = n,\qquad \lfloor -x\rfloor = \lfloor -n\rfloor = -n,
pois -n já é inteiro. Logo
f(n)=n+(-n)=0.
Conclusão: para todo n\in\mathbb{Z} vale f(n)=0.

Passo 5

Resumo dos valores de f\): \[f(x)=\begin{cases} 0, & x\in\mathbb{Z},\\[4pt] -1, & x\notin\mathbb{Z}. \end{cases}
Ou seja, f\] vale \(-1 em todos os pontos não inteiros e tem valor 0 exatamente nos inteiros.]

Passo 6

Agora a parte (a): existência do limite \lim_{x\to a} f(x).
  • Se a\notin\mathbb{Z}: existe um intervalo aberto em torno de a que não contém inteiros (basta tomar raio menor que a distância de a ao inteiro mais próximo). Nesse intervalo f(x) é constante igual a -1. Portanto
\lim_{x\to a} f(x) = -1
e o limite existe.
  • Se a=n\in\mathbb{Z}: para x aproximando-se de n por valores diferentes de n (tanto pela esquerda quanto pela direita) temos f(x)=-1 (porque esses pontos não são inteiros). Assim as duas limites laterais valem -1, isto é,
\lim_{x\to n^-} f(x) = -1,\qquad \lim_{x\to n^+} f(x) = -1,
logo o limite bilateral \lim_{x\to n} f(x) existe e vale -1.
Portanto o limite \lim_{x\to a} f(x) existe para todo a\in\mathbb{R} (em todos os pontos é igual a -1).

Passo 7

Agora a parte (b): continuidade de f.
Recordando: f é contínua num ponto a se e somente se \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Se a\notin\mathbb{Z}: temos \lim_{x\to a} f(x)=-1 (Passo 6) e f(a)=-1 (Passo 3). Como limite e valor coincidem, f é contínua em qualquer a\notin\mathbb{Z}.
  • Se a=n\in\mathbb{Z}: temos \lim_{x\to n} f(x)=-1 (Passo 6), mas f(n)=0 (Passo 4). Como o limite não coincide com o valor da função, f é descontínua em todo inteiro n.
Conclusão: f é contínua em todos os reais que não são inteiros e é descontínua em todos os inteiros. Em notação de conjuntos, o conjunto de continuidade é \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}.

Resposta

(a) O limite \lim_{x\to a} f(x) existe para todo a\in\mathbb{R} (e vale -1).
(b) f é contínua em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} e descontínua em \mathbb{Z}.

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