Seja
.
a) Para que valores de
existe.
b) Em que números
é contínua.
a) Para que valores de
b) Em que números
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- (a) Para quais valores de
o limite existe. - (b) Em que números
é contínua.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
em termos da função piso (ou parte inteira)
. Nada mais foi dado; toda a análise deve partir da propriedade da função piso.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é
: é o maior inteiro menor ou igual a
. Outra função útil é o teto (ou arredondamento para cima)
, o menor inteiro maior ou igual a
. Uma relação importante que vamos usar é
Explicação rápida dessa identidade: se
então
. Multiplicando por
e invertendo as desigualdades obtém-se
, o que diz que
. Logo
.
Passo 3
Calcular
quando
não é inteiro. Seja
. Então existe um inteiro
tal que
. Escrevendo
com
, temos
Para
note que
com
, portanto
Somando,
Conclusão: para todo
vale
.
Passo 4
Calcular
quando
é inteiro. Seja
. Então
pois
já é inteiro. Logo
Conclusão: para todo
vale
.
Passo 5
Resumo dos valores de
Ou seja,
em todos os pontos não inteiros e tem valor
exatamente nos inteiros.]
Passo 6
Agora a parte (a): existência do limite
.
- Se
: existe um intervalo aberto em torno de que não contém inteiros (basta tomar raio menor que a distância de ao inteiro mais próximo). Nesse intervalo é constante igual a . Portanto
e o limite existe.
- Se
: para aproximando-se de por valores diferentes de (tanto pela esquerda quanto pela direita) temos (porque esses pontos não são inteiros). Assim as duas limites laterais valem , isto é,
logo o limite bilateral
existe e vale
.
Portanto o limite
existe para todo
(em todos os pontos é igual a
).
Passo 7
Agora a parte (b): continuidade de
.
Recordando:
é contínua num ponto
se e somente se
.
-
Se
: temos (Passo 6) e (Passo 3). Como limite e valor coincidem, é contínua em qualquer . -
Se
: temos (Passo 6), mas (Passo 4). Como o limite não coincide com o valor da função, é descontínua em todo inteiro .
Conclusão:
é contínua em todos os reais que não são inteiros e é descontínua em todos os inteiros. Em notação de conjuntos, o conjunto de continuidade é
.
Resposta
(a) O limite
existe para todo
(e vale
).
(b) é contínua em
e descontínua em
.
(b)