Avalie os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale . Portanto temos uma forma indeterminada e precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Vou usar a fórmula da tangente da soma de ângulos. Lembra assim:
Aqui
e
. Como
, obtemos
Expliquei a fórmula:
e
são os valores da tangente dos ângulos
e
; substituindo
usamos
.
Passo 3
Agora calculo o numerador substituindo a expressão acima:
Vou reduzir isso a uma única fração. Colocando sobre o mesmo denominador:
No numerador simplifica:
Portanto
Passo 4
Substituo essa forma na expressão do limite:
Agora uso a relação trigonométrica básica
. Assim
válido para
próximos de
(onde
salvo exatamente em
, mas estamos em limite). Então a expressão fica
Passo 5
Agora podemos avaliar o limite passando para o limite das partes contínuas. Tanto
quanto
são funções contínuas em
, e além disso
logo o denominador
tende para
, que não é zero. Assim é seguro substituir:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Checagem alternativa (opcional, só para ver que bate): como a forma era
, poder-se-ia também aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Aplicando L’Hôpital:
confere com o resultado anterior.