Avalie os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\tan\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1}{\operatorname{sen} x}.
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é \tan\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1.
  • O denominador é \operatorname{sen} x.
  • Ao substituir x=0 diretamente, o numerador vale \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-1=1-1=0 e o denominador vale \operatorname{sen} 0=0. Portanto temos uma forma indeterminada 0/0 e precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Vou usar a fórmula da tangente da soma de ângulos. Lembra assim:
\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot\tan B}.
Aqui A=x e B=\dfrac{\pi}{4}. Como \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1, obtemos
\tan\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}.
Expliquei a fórmula: \tan A e \tan B são os valores da tangente dos ângulos A e B; substituindo B=\pi/4 usamos \tan(\pi/4)=1.

Passo 3

Agora calculo o numerador substituindo a expressão acima:
\tan\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1 = \frac{\tan x+1}{1-\tan x}-1.
Vou reduzir isso a uma única fração. Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{\tan x+1}{1-\tan x}-1 = \frac{\tan x+1-(1-\tan x)}{1-\tan x}.
No numerador simplifica:
\tan x+1-(1-\tan x)=\tan x+1-1+\tan x=2\tan x.
Portanto
\tan\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1=\frac{2\tan x}{1-\tan x}.

Passo 4

Substituo essa forma na expressão do limite:
\frac{\tan\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1}{\operatorname{sen} x} = \frac{\dfrac{2\tan x}{1-\tan x}}{\operatorname{sen} x} =2\cdot\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}\cdot\frac{1}{1-\tan x}.
Agora uso a relação trigonométrica básica \tan x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Assim
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} x}=\frac{\operatorname{sen} x/\cos x}{\operatorname{sen} x}=\frac{1}{\cos x},
válido para x próximos de 0 (onde \operatorname{sen} x\neq 0 salvo exatamente em 0, mas estamos em limite). Então a expressão fica
2\cdot\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{1-\tan x} =\frac{2}{\cos x\,(1-\tan x)}.

Passo 5

Agora podemos avaliar o limite passando para o limite das partes contínuas. Tanto \cos x quanto \tan x são funções contínuas em x=0, e além disso
\cos 0=1,\qquad \tan 0=0,
logo o denominador \cos x\,(1-\tan x) tende para 1\cdot(1-0)=1, que não é zero. Assim é seguro substituir:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{\cos x\,(1-\tan x)}=\frac{2}{\cos 0\,(1-\tan 0)}=\frac{2}{1\cdot 1}=2.
Portanto o limite existe e vale 2.

Passo 6

Checagem alternativa (opcional, só para ver que bate): como a forma era 0/0, poder-se-ia também aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\tan\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sec}^2\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right).
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sec}^2\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos x} =\frac{\operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos 0} =\frac{1/\cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{1} =\frac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=2,
confere com o resultado anterior.

Resposta

2

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