Avalie a variação da energia interna, destacando as parcelas de calor e trabalho envolvidas, para uma gota de água que condensa na superfície.

Passo 1

O enunciado pede que a gente avalie a variação da energia interna de uma porção de água que passa do estado vapor para líquido formando uma gota sobre uma superfície, e que aponte claramente as parcelas de calor e trabalho envolvidas. Informação implícita e adotada nesta solução: consideramos uma massa m de vapor que condensa totalmente formando a gota; o processo ocorre aproximadamente à pressão ambiente \;p\; e à temperatura de condensação \;T\;. Não há figura enviada.
Resumo do que precisamos fornecer: (i) expressão para \Delta U da massa de água durante a condensação; (ii) identificar o calor Q trocado e o trabalho W realizado; (iii) interpretar os sinais e dar um exemplo numérico simples para ter ideia das ordens de grandeza.

Passo 2

Definições e convenções que vou usar (muito importantes para não se confundir com sinais):
  • Energia interna do sistema é U. A variação durante o processo é \Delta U = U_{\text{final}} - U_{\text{inicial}}.
  • Sistema: a própria massa m de água (ou seja, seguimos a massa que era vapor e virou líquido).
  • Convenção de sinais da termodinâmica clássica (primeira lei para sistema fechado):
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra energia por calor no sistema) e W é o trabalho realizado pelo sistema sobre as vizinhanças (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o exterior). Vou explicar cada termo no contexto da condensação.

Passo 3

Identificando o calor Q no processo de condensação:
  • A condensação libera calor latente para o ambiente (ou para a superfície). Se chamarmos de L_v o calor latente de vaporização (por unidade de massa) — definido como a quantidade de calor necessária para vaporizar 1 kg de líquido a pressão e temperatura consideradas — então a condensação de massa m libera energia m L_v para as vizinhanças.
  • Como Q é o calor recebido pelo sistema, durante a condensação o sistema (a água) perde calor; portanto, o calor que entra no sistema é negativo:
Q = -\,m\,L_v.
Aqui L_v>0 (por exemplo, à pressão atmosférica L_v \approx 2{,}26\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg} para água a 100^\circ\mathrm{C}). Vou explicar depois o porquê dessa definição com entalpia.

Passo 4

Identificando o trabalho W na condensação: trabalho de pressão (trabalho de volume) é relevante porque a passagem vapor \to líquido envolve grande variação de volume. Para processo à pressão externa aproximadamente constante \;p\;, o trabalho de borda é o trabalho de expansão/compressão:
W = \int p_{\text{ext}}\,dV \approx p\,(V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}).
No nosso sistema a variação de volume por unidade de massa é \Delta v = v_{\ell}-v_{v}, onde v_{v} é volume específico do vapor e v_{\ell} o do líquido. Como v_{\ell}\ll v_{v}, temos \Delta v<0, então W = m\,p\,(v_{\ell}-v_{v}) é negativo: o sistema realiza trabalho negativo, ou seja, o exterior faz trabalho sobre o sistema (o vapor é comprimido ao virar líquido). Em termos práticos para cálculos é conveniente escrever:
W = m\,p\,(v_{\ell}-v_{v}) = -\,m\,p\,(v_{v}-v_{\ell}).

Passo 5

Relacionando energia interna, entalpia e calor latente (a conta clássica que simplifica a expressão):
  • Entalpia específica é definida por \;h = u + p\,v\;, onde u é a energia interna específica e v o volume específico. Subtraindo os estados vapor ( v) e líquido ( \ell) obtemos:
h_{v}-h_{\ell} = (u_{v}-u_{\ell}) + p\,(v_{v}-v_{\ell}).
  • O calor latente de vaporização por unidade de massa, à pressão considerada, é exatamente \;L_v = h_{v}-h_{\ell}\; (é o calor trocado quando se transforma líquido em vapor à pressão constante). Rearranjando para obter a diferença de energias internas:
u_{\ell}-u_{v} = -\,L_v + p\,(v_{v}-v_{\ell}).
Multiplicando por m dá a variação total de energia interna do sistema que condensa:
\Delta U = m\,(u_{\ell}-u_{v}) = m\big(-\,L_v + p\,(v_{v}-v_{\ell})\big).
Esta é a expressão central: ela mostra claramente duas parcelas físicas - a parcela -mL_v vinculada ao calor liberado e a parcela +m p (v_{v}-v_{\ell}) vinculada ao trabalho realizado sobre o sistema (compressão pelo ambiente).

Passo 6

Verificação de consistência com a primeira lei: usando Q = -mL_v e W = m p (v_{\ell}-v_{v}), então
\Delta U = Q - W = -mL_v - \big(m p (v_{\ell}-v_{v})\big) = m\big(-L_v + p(v_{v}-v_{\ell})\big),
o que coincide com a expressão do passo anterior. Interpretando os sinais:
  • -mL_v é negativo e geralmente tem magnitude grande (a condensação libera muita energia).
  • m p(v_{v}-v_{\ell}) é positivo (pois v_{v}>v_{\ell}), representando a energia fornecida ao sistema pelo trabalho de compressão do ambiente.
  • O resultado típico é \Delta U<0: a energia interna do conteúdo de água diminui, porque a liberação de calor latente domina sobre o trabalho de compressão (isto é, |mL_v| > m p (v_{v}-v_{\ell}) na maioria dos casos práticos).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para ter ordem de grandeza (muito útil na prova): considere m=1{,}0\\ \mathrm{g}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}, condensando à pressão ambiente p=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e temperatura próxima de 100^\circ\mathrm{C}. Use L_v = 2{,}26\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}. Para o volume específico do vapor aproximamos por gás ideal por massa: v_{v}\approx R_{\text{v}}T/p com R_{\text{v}}=461\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T\approx373\\ \mathrm{K}. O volume específico do líquido é v_{\ell}\approx 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/kg}. Cálculos:
v_{v}\approx\frac{461\cdot373}{1{,}01325\times10^{5}}\approx1{,}72\\ \mathrm{m^{3}/kg},
p\,(v_{v}-v_{\ell})\approx1{,}01325\times10^{5}\times(1{,}72-0{,}001)\approx1,72\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.
Agora por massa m:
Q = -mL_v \approx -0{,}001\times2{,}26\times10^{6} = -2260\\ \mathrm{J},
W = m\,p\,(v_{\ell}-v_{v}) \approx -\,0{,}001\times1{,}72\times10^{5} = -171{,}9\\ \mathrm{J},
\Delta U = Q - W \approx -2260 - (-171{,}9) = -2088{,}1\\ \mathrm{J}.
Interpretação: ao condensar 1\\ \mathrm{g} de vapor, o sistema libera cerca de 2260\\ \mathrm{J} de calor para a superfície; ao mesmo tempo o ambiente faz cerca de 172\\ \mathrm{J} de trabalho sobre a massa (compressão), reduzindo a perda líquida de energia interna para cerca de 2088\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Observações físicas adicionais (úteis para prova e para não esquecer armadilhas):
  • Em muitas situações práticas a superfície absorve o calor liberado; portanto o Q negativo aparece como aquecimento da superfície.
  • Se a gota formar-se com mudança significativa na área de interface (por exemplo, molhar uma superfície, alteração de energia superficial), existe também contribuição de energia associada a superfícies (energia livre superficial). Essa contribuição aparece como trabalho (ou variação de energia) adicional que pode ser escrita como \gamma\,\Delta A ( \gamma é a tensão superficial e \Delta A a variação de área das interfaces). Se o enunciado não pede detalhes de superfícies, essa parcela costuma ser pequena comparada ao latente para massas macroscópicas, mas pode ser relevante em microescala.
  • Se a condensação ocorre com troca de massa com um reservatório à corenta temperatura, dá para tratar usando entalpias (fluxo) em vez de apenas a primeira lei para sistema fechado; a conclusão qualitativa sobre Q e W permanece.

Passo 9

Resumo didático e receitas para a prova (decoráveis e aplicáveis):
  • Escolha claramente o sistema (a massa que condensa).
  • Aplique a primeira lei: \Delta U = Q - W.
  • Para condensação: Q = -mL_v (calor liberado) e W = m p (v_{\ell}-v_{v}) (trabalho de borda, normalmente negativo).
  • Logo: \displaystyle \Delta U = m\big(-L_v + p\,(v_{v}-v_{\ell})\big). Use essa fórmula com os valores de L_v,\;p,\;v para obter números. Seja cuidadoso com sinais: calor liberado entra negativo; compressão faz W<0.

Resposta

\displaystyle \Delta U = m\big(-L_v + p\,(v_{v}-v_{\ell})\big). \nPara a condensação de m=1{,}0\\ \mathrm{g} à pressão atmosférica, usando L_v=2{,}26\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}, obtém-se aproximadamente Q=-2260\\ \mathrm{J}, W\approx-171{,}9\\ \mathrm{J} e \Delta U\approx-2088{,}1\\ \mathrm{J}.

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