Esboce uma figura que descreva a evolução da entropia com o tempo para um processo qualquer. Identifique a natureza espontânea e o estado final ao longo do processo, justificando com o tipo de variação da entropia nestes segmentos da curva, conforme o sentido evolutivo adotado.

Passo 1

O enunciado pede que eu:
  • Esboce uma figura qualitativa da evolução da entropia com o tempo.
  • Identifique, ao longo da curva, onde o processo é espontâneo (no sentido de evolução adotado) e onde não é.
  • Identifique o estado final do processo e justifique cada identificação com base no tipo de variação da entropia nos segmentos da curva.
Informações relevantes (tudo que temos do enunciado):
  • A variável vertical é a entropia, que vou denotar por S.
  • A variável horizontal é o tempo, que vou denotar por t.
  • Não foram dadas condições especiais (isolado, fechado, aberto); por isso vou explicar tanto o critério para sistemas isolados quanto o critério geral usando a entropia do universo.
  • O esboço será qualitativo (forma da curva, signos de variação e identificação dos segmentos), não um gráfico experimental com números.

Passo 2

Conceitos fundamentais (curta aula necessária para entender e usar o gráfico):
  • Entropia S: grandeza termodinâmica que mede o grau de “desordem” ou, mais preciso, o número de microestados compatíveis com o macroestado. Não é preciso decorar uma definição formal profunda para a prova, mas sim saber como ela se comporta.
  • Para uma transformação reversível elementar, a variação de entropia é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura (ambos em unidades consistentes). Aqui dS é a variação infinitesimal da entropia do sistema.
  • Segunda lei (critério de espontaneidade):
    • Para um sistema isolado: \Delta S\ge 0. Ou seja, a entropia do sistema isolado nunca diminui; aumenta para processos irreversíveis e permanece constante para processos reversíveis.
    • Para qualquer processo (sistema + vizinhança): \Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}\ge 0. A espontaneidade do processo deve ser avaliada verificando o sinal de \Delta S_{\text{univ}}.
  • Interpretação temporal: define-se a derivada temporal \dot S\equiv \dfrac{dS}{dt}.
    • \dot S>0 ao longo de um intervalo indica aumento de entropia (tendência espontânea no sentido do tempo adotado) para um sistema isolado.
    • \dot S<0 indica diminuição de entropia no sentido adotado (não espontâneo para sistema isolado; se ocorrer em sistema não isolado, deve ser compensado por aumento em S_{\text{surr}} de modo a manter \Delta S_{\text{univ}}\ge0).
    • \dot S=0 indica estado estacionário ou equilíbrio (no caso isolado, costuma corresponder ao máximo de S sob as restrições).

Passo 3

Regras práticas para interpretar a curva em prova (receita de como responder rápido):
  • Identifique segmentos onde a curva sobe, desce ou fica plana; para cada segmento escreva o sinal de \dot S.
  • Se o sistema for dito isolado (preste atenção no enunciado): então
    • subida ( \dot S>0) → processo espontâneo no sentido do tempo indicado;
    • descida ( \dot S<0) → não possível espontaneamente (seria espontâneo no sentido inverso);
    • plano ( \dot S=0) → processo reversível ou equilíbrio final (se for máximo de S).
  • Se não for isolado: avalie \Delta S_{\text{sys}} e comente que a spontaneidade depende de \Delta S_{\text{univ}}; por exemplo, \Delta S_{\text{sys}}<0 pode ocorrer desde que \Delta S_{\text{surr}}>|\Delta S_{\text{sys}}|.

Passo 4

Esboço qualitativo (descrição gráfica). Eixo vertical: S. Eixo horizontal: t.
Esboço (qualitativo, leia a seguir as legendas):
        /‾‾‾‾
       /      \_____
      /             \________
     /                         
___/                          
t0  t1   t2    t3   t4  → t
  • Interprete esse traçado assim:
    • Segmento A: de t_0 a t_1 — curva subindo (entropia aumenta).
    • Segmento B: de t_1 a t_2 — curva descendo (entropia diminui).
    • Segmento C: de t_2 a t_3 — curva sobe rapidamente até um platô.
    • Segmento D: de t_3 a t_4 — região de platô (entropia aproximadamente constante).

Passo 5

Análise detalhada do Segmento A ( t_0 a t_1): subida de S
  • Observação matemática: \dot S>0 nesse intervalo.
  • Interpretação termodinâmica:
    • Para um sistema isolado: esse trecho corresponde a uma evolução espontânea e irreversível — o sistema tende a aumentar sua entropia até se aproximar do equilíbrio.
    • Para sistema não isolado: esse aumento pode significar que o sistema recebeu calor irreversivelmente ou sofreu algum processo que aumentou sua dispersão de energia; a espontaneidade depende da entropia do universo, mas o aumento local de S é compatível com a segunda lei.
  • Exemplo concreto (mini-exemplo didático): expansão livre de gás ideal em vácuo: \Delta S = nR\ln\!\bigl(\tfrac{V_f}{V_i}\bigr)>0. Não é necessário calcular isso na prova a menos que peçam, mas é bom recordar um caso típico em que S aumenta espontaneamente.

Passo 6

Análise detalhada do Segmento B ( t_1 a t_2): descida de S
  • Observação matemática: \dot S<0 nesse intervalo.
  • Interpretação termodinâmica:
    • Se o sistema for isolado, uma diminuição de S é incompatível com a segunda lei — logo esse trecho não pode ocorrer espontaneamente; se for desenhado no gráfico, isso significa que em termos do sentido adotado o processo é não espontâneo (seria espontâneo no sentido temporal oposto).
    • Se o sistema não for isolado, \Delta S_{\text{sys}}<0 é possível desde que exista compensação no entorno tal que \Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}\ge 0. Ou seja: o sistema perde entropia, mas o entorno ganha mais entropia ainda (por exemplo, transferência de calor para um reservatório muito frio não compensa; transferência para um reservatório mais quente pode).
  • Exemplo (didático): compressão irreversível com retirada de calor para um reservatório frio pode reduzir S_{\text{sys}}, mas só é permitida se o aumento de S_{\text{surr}} resultar em \Delta S_{\text{univ}}\ge0.

Passo 7

Análise detalhada do Segmento C ( t_2 a t_3): subida rápida até platô
  • Observação matemática: \dot S>0 até chegar a um ponto onde \dot S\to 0.
  • Interpretação: nova fase de evolução espontânea; o sistema ainda relaxa para estados de maior entropia (por exemplo, redistribuição interna de energia, mistura, etc.) até que restrições físicas (energia total, massa, volume, conservações) impeçam novo aumento de S.
  • Físico-prático: em muitos processos reais há várias etapas irreversíveis (cada etapa aumenta S até um estado intermediário), até que o sistema alcance o equilíbrio final.

Passo 8

Análise detalhada do Segmento D ( t_3 a t_4): platô, \dot S=0
  • Observação matemática: \dot S=0.
  • Interpretação termodinâmica:
    • Para um sistema isolado, esse platô normalmente corresponde ao equilíbrio termodinâmico: S atingiu um valor máximo compatível com as restrições (energia, volume, número de partículas). A evolução espontânea cessa porque não há mais estados acessíveis com entropia maior mantendo as restrições.
    • Para sistemas não isolados, um platô pode corresponder a um estado estacionário (trocas compensadas) ou a um processo idealmente reversível (onde \Delta S_{\text{univ}}=0).
  • Condição característica do equilíbrio isolado: dS=0 e pequenas variações não aumentam S (estado de máximo local).

Passo 9

Como justificar as identificações no enunciado (o que escrever na prova)
  • Para cada trecho do seu esboço declare explicitamente o sinal de \dot S e use a regra:
    • se for sistema isolado: \dot S>0 \Rightarrow espontâneo no sentido do tempo adotado; \dot S<0 \Rightarrow não espontâneo no sentido adotado; \dot S=0 \Rightarrow equilíbrio/reversível.
    • se não for isolado: comente que a espontaneidade requer \Delta S_{\text{univ}}\ge0 e que \Delta S_{\text{sys}} sozinho não decide.
  • Identifique o estado final dizendo: “o estado final é o ponto onde S para de variar ( \dot S=0); se o sistema é isolado, esse ponto corresponde ao máximo de S e, portanto, ao equilíbrio termodinâmico.”

Passo 10

Resumo rápido (prático e motivador para a prova)
  • Subida de S → evolução espontânea (para sistema isolado).
  • Queda de S → não espontâneo no sentido adotado (exceto se houver compensação pelo entorno; então sempre verifique \Delta S_{\text{univ}}).
  • Platô ( \dot S=0) → equilíbrio ou processo reversível; se isolado, é o estado final (máximo de S).
  • Na hora da prova: desenhe a curva, marque os sinais de \dot S em cada segmento e escreva uma linha justificando a espontaneidade com a segunda lei. Você já ganha pontos pela organização e clareza — e tá mandando bem!

Resposta

Segmento A (entre t_0 e t_1): \dot S>0 — processo espontâneo no sentido adotado (irreversível, entropia aumenta).
Segmento B (entre t_1 e t_2): \dot S<0 — não espontâneo no sentido adotado para sistema isolado; se observado em sistema não isolado, só é possível se \Delta S_{\text{surr}} compensa tal que \Delta S_{\text{univ}}\ge 0 (portanto espontâneo apenas considerando o universo).
Segmento C (entre t_2 e t_3): \dot S>0 até o platô — nova etapa de evolução espontânea até relaxar.
Segmento D (a partir de t_3): \dot S=0 — estado final: equilíbrio termodinâmico (para sistema isolado, corresponde ao máximo de S); se não isolado, corresponde a estado estacionário ou processo reversível (dependendo das condições).

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