Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
(x+y) dx + x dy = 0 ; y = 1/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A questão pede para a gente verificar se a função é uma solução da equação diferencial dada: . Para isso, vamos precisar usar conceitos básicos de cálculo diferencial, como derivadas e substituição de funções na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa verificar se é solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos e sua derivada na equação, a igualdade deve se manter verdadeira.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na equação diferencial original:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Então, a equação fica:

Passo 6

A última equação só é verdadeira se . Porém, no domínio de , não pode ser zero, pois isso tornaria indefinido.

Passo 7

Como a substituição resultou em uma equação que só é verdadeira para , que não está no domínio da função , concluímos que não é uma solução da equação diferencial dada.

Resposta

A função não é uma solução da equação diferencial .

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