Determine a área da superfície.
(b) A parte do plano com equação vetorial r(u, v) = (u + v, 2 - 3u, 1 + u - v) que é dada por 0 <= u <= 2, -1 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área de uma parte de um plano definido pela equação vetorial onde e . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de área de superfícies paramétricas, que envolve derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta quando variamos cada uma das variáveis.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, e sua magnitude está relacionada à área.
Calculando:

Passo 4

Vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa a área de um paralelogramo infinitesimal na superfície.
Calculando a magnitude:

Passo 5

Para encontrar a área total da superfície, vamos integrar essa magnitude sobre os limites dados para e .
A área é dada por:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Como é uma constante, podemos simplificar a integração.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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