um avıão, cuja massa total é M, em vôo horızontal planado (motor desligado) com velocidade v0. dispara para a frente um foguete de massa m. O foguete sal com velocidade vc em relacão ao avıão (medida pelo plloto apos o lancamento). Calcule as velocıdades do avião e do foguete em relacão à Terra imediatamente após o disparo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um avião com massa total $ M $ voando horizontalmente com uma velocidade $ v_0 $. O motor está desligado, então o avião está em voo planado. De repente, o piloto dispara um foguete de massa $ m $ para frente, e esse foguete sai com uma velocidade $ v_c $ em relação ao avião. A pergunta é: qual será a velocidade do avião e do foguete em relação à Terra imediatamente após o disparo?
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento. Esse princípio diz que, se não há forças externas atuando no sistema, a quantidade de movimento total permanece constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o sistema que estamos analisando. Aqui, nosso sistema inclui o avião e o foguete antes e depois do disparo. Antes do foguete ser disparado, o avião e o foguete estão se movendo juntos com a velocidade $ v_0 $.
A quantidade de movimento antes do disparo é:
v0

Passo 3

Após o disparo, temos duas partes se movendo com velocidades diferentes:
  1. O avião com massa $ M $ e velocidade $ v_a $ em relação à Terra.
  2. O foguete com massa $ m $ e velocidade $ v_f $ em relação à Terra.
A quantidade de movimento final é a soma das quantidades de movimento do avião e do foguete:
M

Passo 4

Segundo o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento:
pinicial = pfinal
Portanto:
(M + m) times v0 = M times va + m times vf

Passo 5

Agora, precisamos relacionar as velocidades $ v_a $ e $ v_f $. Sabemos que o foguete foi disparado com velocidade $ v_c $ em relação ao avião. Isso significa que:
va
Aqui, $ v_c $ é a velocidade do foguete em relação ao avião, então a velocidade do foguete em relação à Terra é a soma da velocidade do avião com a velocidade relativa do foguete.

Passo 6

Vamos substituir $ v_f $ na equação da conservação da quantidade de movimento:
vf
Expande a equação:
(M + m) times v0 = M times va + m times (va + vc)
Juntando os termos com $ v_a $:
(M + m) times v0 = M times va + m times va + m times vc

Passo 7

Agora, vamos isolar $ v_a $:
va
Dividindo ambos os lados por $ (M + m) $:
(M + m) times va = (M + m) times v0 - m times vc
Essa é a velocidade do avião em relação à Terra imediatamente após o disparo.

Passo 8

Para encontrar a velocidade do foguete $ v_f $, lembramos que:
vf
Substituindo $ v_a $:
vf = va + vc
Simplificando:
va
vf = ( v0 - mM + m times vc ) + vc

Resposta

As velocidades imediatamente após o disparo são:
va = v0 - mM + m times vc
vf = v0 + MM + m times vc
Ou seja, o avião reduz sua velocidade de $ v_0 $ para $ v_a $ e o foguete aumenta para $ v_f $ conforme as equações acima.

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