um avıão, cuja massa total é M, em vôo horızontal planado (motor desligado) com velocidade
. dispara para a frente um foguete de massa m. O foguete sal com velocidade
em relacão ao avıão (medida pelo plloto apos o lancamento). Calcule as velocıdades do avião e do foguete em relacão à Terra imediatamente após o disparo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um avião com massa total $ M $ voando horizontalmente com uma velocidade $ v_0 $. O motor está desligado, então o avião está em voo planado. De repente, o piloto dispara um foguete de massa $ m $ para frente, e esse foguete sai com uma velocidade $ v_c $ em relação ao avião. A pergunta é: qual será a velocidade do avião e do foguete em relação à Terra imediatamente após o disparo?
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento. Esse princípio diz que, se não há forças externas atuando no sistema, a quantidade de movimento total permanece constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o sistema que estamos analisando. Aqui, nosso sistema inclui o avião e o foguete antes e depois do disparo. Antes do foguete ser disparado, o avião e o foguete estão se movendo juntos com a velocidade $ v_0 $.
A quantidade de movimento antes do disparo é:
Passo 3
Após o disparo, temos duas partes se movendo com velocidades diferentes:
- O avião com massa $ M $ e velocidade $ v_a $ em relação à Terra.
- O foguete com massa $ m $ e velocidade $ v_f $ em relação à Terra.
A quantidade de movimento final é a soma das quantidades de movimento do avião e do foguete:
Passo 4
Segundo o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento:
Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar as velocidades $ v_a $ e $ v_f $. Sabemos que o foguete foi disparado com velocidade $ v_c $ em relação ao avião. Isso significa que:
Aqui, $ v_c $ é a velocidade do foguete em relação ao avião, então a velocidade do foguete em relação à Terra é a soma da velocidade do avião com a velocidade relativa do foguete.
Passo 6
Vamos substituir $ v_f $ na equação da conservação da quantidade de movimento:
Expande a equação:
Juntando os termos com $ v_a $:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ v_a $:
Dividindo ambos os lados por $ (M + m) $:
Essa é a velocidade do avião em relação à Terra imediatamente após o disparo.
Passo 8
Para encontrar a velocidade do foguete $ v_f $, lembramos que:
Substituindo $ v_a $:
Simplificando:
Resposta
As velocidades imediatamente após o disparo são:
Ou seja, o avião reduz sua velocidade de $ v_0 $ para $ v_a $ e o foguete aumenta para $ v_f $ conforme as equações acima.