Uma particula de massa m0 com velocıdade v0 atinge uma particula estacıonárıa de massa 2 m0. Como resultado, a particula de massa m0 é defletída de 45^circ e fica com velocıdade v0 / 2. Ache o vetor velocidade da particula de massa 2 m0 após a collsão. Fol conservada a energıa cinêtıca do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão entre duas partículas. Temos uma partícula com massa $ m_0 $ e velocidade $ v_0 $ que bate em outra partícula que está parada e tem massa $ 2m_0 $. Depois da colisão, a primeira partícula se desvia $ 45^\circ $ e sua velocidade reduz para $ \frac{v_0}{2} $. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da segunda partícula após a colisão e verificar se a energia cinética do sistema foi conservada. Para resolver isso, vamos usar as leis de conservação do momento e analisar a conservação da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. A partícula $ m_0 $ vem com velocidade $ v_0 $ e após a colisão, ela se desvia em $ 45^\circ $ com velocidade $ \frac{v_0}{2} $. A partícula $ 2m_0 $ sai com uma velocidade que vamos chamar de $ \vec{v}_2 $. Como a colisão acontece em um plano, podemos separar os movimentos nas direções $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos aplicar a conservação do momento. A conservação do momento linear diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão, tanto na direção $ x $ quanto na direção $ y $.
Matematicamente:
x

Passo 4

Antes da colisão, a única partícula em movimento é $ m_0 $ com velocidade $ v_0 $ na direção $ x $. Então, o momento total antes da colisão é:
m0
v0

Passo 5

Depois da colisão, temos duas partículas em movimento:
  • $ m_0 $ com velocidade $ \frac{v_0}{2} $ a $ 45^\circ $
  • $ 2m_0 $ com velocidade $ v_2 $ que queremos encontrar
Vamos decompor o momento de $ m_0 $ nas direções $ x $ e $ y $:
m0
v02

Passo 6

A partícula $ 2m_0 $ terá momento nas direções $ x $ e $ y $ de acordo com sua velocidade $ \vec{v}_2 $:
2m0
x

Passo 7

Aplicando a conservação do momento na direção $ x $:
x
Simplificando, dividindo tudo por $ m_0 $:
m0 v0 = m0 ( v02 cos(45^circ) ) + 2m0 v2x

Passo 8

Sabemos que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
cos(45^circ) = raiz22
v0 = v02 cdot raiz22 + 2 v2x

Passo 9

Isolando $ v_{2x} $:
v2x
2 v2x = v0 - v0 raiz24
v2x = v02 - v0 raiz28
v2x = 4v0 - v0 raiz28

Passo 10

Agora, aplicamos a conservação do momento na direção $ y $. Antes da colisão, não há momento na direção $ y $, então:
y
Simplificando:
y
0 = m0 ( v02 sin(45^circ) ) + 2m0 v2y

Passo 11

Isolando $ v_{2y} $:
v2y
2 v2y = -v0 raiz24

Passo 12

Agora temos as componentes $ x $ e $ y $ da velocidade da partícula $ 2m_0 $:
x
y

Passo 13

Podemos escrever o vetor velocidade $ \vec{v}_2 $ da partícula $ 2m_0 $ combinando as componentes:
v2
Simplificando:
2m0

Passo 14

Agora, vamos verificar se a energia cinética foi conservada. A energia cinética antes da colisão é apenas da partícula $ m_0 $:
m0 é

Passo 15

Depois da colisão, a energia cinética é a soma das energias das duas partículas:
Ecinética depois = 12 m0 ( v02 )^2 + 12 cdot 2m0 |v2|^2 é
Ecinética depois = 12 m0 cdot v0^24 + m0 |v2|^2 é
Ecinética depois = m0 v0^28 + m0 |v2|^2 é

Passo 16

Vamos calcular $ |\vec{v}_2|^2 $:
|v2|^2
|v2|^2 = ( 4 - raiz28 v0 )^2 + ( -raiz28 v0 )^2
|v2|^2 = (4 - raiz2)^2 v0^264 + 2 v0^264
|v2|^2 = 16 - 8raiz2 + 2 + 264 v0^2
|v2|^2 = 20 - 8raiz264 v0^2

Passo 17

Substituindo na energia cinética depois:
Ecinética depois = m0 v0^28 + m0 cdot 5 - 2raiz216 v0^2 é
Ecinética depois = m0 v0^28 + m0 (5 - 2raiz2) v0^216 é
Ecinética depois = 2m0 v0^216 + m0 (5 - 2raiz2) v0^216 é
Ecinética depois = 2 + 5 - 2raiz216 m0 v0^2 é
Ecinética depois = 7 - 2raiz216 m0 v0^2 é

Passo 18

Comparando com a energia cinética antes:
Ecinética antes = 12 m0 v0^2 = 816 m0 v0^2 é
Ecinética depois = 7 - 2raiz216 m0 v0^2 é

Passo 19

Como $ \frac{7 - 2\sqrt{2}}{16} < \frac{8}{16} $, a energia cinética depois da colisão é menor que antes. Então, a energia cinética não foi conservada.

Resposta

A velocidade da partícula de massa $ 2m_0 $ após a colisão é $ \vec{v}_2 = \frac{v_0}{8} (4 - \sqrt{2}) \hat{i} - \frac{v_0 \sqrt{2}}{8} \hat{j} $. Além disso, a energia cinética do sistema não foi conservada durante a colisão.

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