Uma particula de massa
com velocıdade
atinge uma particula estacıonárıa de massa
. Como resultado, a particula de massa
é defletída de
e fica com velocıdade
. Ache o vetor velocidade da particula de massa
após a collsão. Fol conservada a energıa cinêtıca do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão entre duas partículas. Temos uma partícula com massa $ m_0 $ e velocidade $ v_0 $ que bate em outra partícula que está parada e tem massa $ 2m_0 $. Depois da colisão, a primeira partícula se desvia $ 45^\circ $ e sua velocidade reduz para $ \frac{v_0}{2} $. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da segunda partícula após a colisão e verificar se a energia cinética do sistema foi conservada. Para resolver isso, vamos usar as leis de conservação do momento e analisar a conservação da energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. A partícula $ m_0 $ vem com velocidade $ v_0 $ e após a colisão, ela se desvia em $ 45^\circ $ com velocidade $ \frac{v_0}{2} $. A partícula $ 2m_0 $ sai com uma velocidade que vamos chamar de $ \vec{v}_2 $. Como a colisão acontece em um plano, podemos separar os movimentos nas direções $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos aplicar a conservação do momento. A conservação do momento linear diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão, tanto na direção $ x $ quanto na direção $ y $.
Matematicamente:
Passo 4
Antes da colisão, a única partícula em movimento é $ m_0 $ com velocidade $ v_0 $ na direção $ x $. Então, o momento total antes da colisão é:
Passo 5
Depois da colisão, temos duas partículas em movimento:
- $ m_0 $ com velocidade $ \frac{v_0}{2} $ a $ 45^\circ $
- $ 2m_0 $ com velocidade $ v_2 $ que queremos encontrar
Vamos decompor o momento de $ m_0 $ nas direções $ x $ e $ y $:
Passo 6
A partícula $ 2m_0 $ terá momento nas direções $ x $ e $ y $ de acordo com sua velocidade $ \vec{v}_2 $:
Passo 7
Aplicando a conservação do momento na direção $ x $:
Simplificando, dividindo tudo por $ m_0 $:
Passo 8
Sabemos que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Passo 9
Isolando $ v_{2x} $:
Passo 10
Agora, aplicamos a conservação do momento na direção $ y $. Antes da colisão, não há momento na direção $ y $, então:
Simplificando:
Passo 11
Isolando $ v_{2y} $:
Passo 12
Agora temos as componentes $ x $ e $ y $ da velocidade da partícula $ 2m_0 $:
Passo 13
Podemos escrever o vetor velocidade $ \vec{v}_2 $ da partícula $ 2m_0 $ combinando as componentes:
Simplificando:
Passo 14
Agora, vamos verificar se a energia cinética foi conservada. A energia cinética antes da colisão é apenas da partícula $ m_0 $:
Passo 15
Depois da colisão, a energia cinética é a soma das energias das duas partículas:
Passo 16
Vamos calcular $ |\vec{v}_2|^2 $:
Passo 17
Substituindo na energia cinética depois:
Passo 18
Comparando com a energia cinética antes:
Passo 19
Como $ \frac{7 - 2\sqrt{2}}{16} < \frac{8}{16} $, a energia cinética depois da colisão é menor que antes. Então, a energia cinética não foi conservada.
Resposta
A velocidade da partícula de massa $ 2m_0 $ após a colisão é $ \vec{v}_2 = \frac{v_0}{8} (4 - \sqrt{2}) \hat{i} - \frac{v_0 \sqrt{2}}{8} \hat{j} $. Além disso, a energia cinética do sistema não foi conservada durante a colisão.