5^a ) Um avião em mergulho solta uma bomba, sendo a posição inicial do avião dada por ro=1000 j (m) e sua velocidade neste instante, Vo=100 i-50 j(m / s). Escreva os vetores posição e velocidade da bomba 2 segundos após o lançamento. Qual o alcance da mesma?

Passo 1

A questão descreve uma bomba lançada de um avião em mergulho com posição inicial vec r0 = 1000,hatjmath (m) e velocidade inicial vec v0 = 100,hatimath - 50,hatjmath (m/s). O movimento é um MRUV bidimensional sob a ação apenas da gravidade vec a = -g,hatjmath com g=9,81 m/s². Para resolver, vamos usar as fórmulas vetoriais de posição e velocidade no referencial inercial.

Passo 2

Em MRUV vetorial, a posição e a velocidade a um tempo t são dadas por:
vec r(t)=vec r0 + vec v0,t + tfrac12,vec a,t^2
vec v(t)=vec v0 + vec a,t

Passo 3

Para encontrar vec v(2), substituímos vec v0=100,hatimath -50,hatjmath e vec a= -9,81,hatjmath:
vec v(2)=l(100,hatimath -50,hatjmathr) + l(0,hatimath -9,81,hatjmathr)cdot2 =100,hatimath + l(-50 -19,62r),hatjmath =100,hatimath -69,62,hatjmath,(m/s)

Passo 4

Para achar vec r(2), usamos a mesma fórmula:
vec r(2)=1000,hatjmath + l(100,hatimath -50,hatjmathr)cdot2 + tfrac12l(0,hatimath -9,81,hatjmathr)cdot2^2
Calculando os termos:
Componente x: 100times2=200
Componente y: 1000 +(-50)times2 +(-4,905)times4 =1000 -100 -19,62 =880,38
Logo
vec r(2)=200,hatimath +880,38,hatjmath,(m)

Passo 5

Para determinar o alcance, primeiro achamos o tempo T em que a bomba atinge y=0. Resolvemos
1000 -50T -tfrac12,9,81,T^2=0
que equivale a
4,905,T^2 +50T -1000=0
Pela fórmula de Bhaskara, obtemos Tapprox10,07 s (descartamos a raiz negativa).

Passo 6

O alcance horizontal é então
x(T)=v0x,T =100times10,07approx1007,m

Resposta

vec r(2)=200,hatimath +880,38,hatjmath m; vec v(2)=100,hatimath -69,62,hatjmath m/s; alcance approx1007 m.

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