4.6- Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um manômetro de tubos em “U” cujo plano é inclinado de um ângulo \alpha a relativamente a horizontal. Sabendo-se que o fluido manométrico é álcool, de massa especifica \rho=764 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3, qual é diferença de pressões \Delta p medida pelo manômetro, expressa em mm de coluna de água, quando a distância entre os dois meniscos, contada segundo a linha de maior declive do plano do manômetro, for igual a l=0,45 \mathrm{~m}. Adotar \alpha=\operatorname{arc} \operatorname{sen} 1 / 2.

Passo 1

O enunciado descreve um manômetro de tubo em “U” inclinado num ângulo \alpha em relação à horizontal, cheio de álcool de massa específica \rho_{\rm alc}=764\:\mathrm{kg/m^3}. A distância entre os dois meniscos, medida ao longo do tubo, é l=0,45\:\mathrm m. Pede-se a diferença de pressão \Delta p medida pelo manômetro, expressa em milímetros de coluna de água. Para resolver, vamos usar:
  1. a relação geométrica entre o comprimento inclinado l e a diferença de nível vertical \Delta h_{\rm alc}, que é \Delta h_{\rm alc}=l\sin\alpha;
  2. a lei de Stevin \Delta p=\rho\,g\,\Delta h;
  3. a conversão para altura equivalente de água, onde \Delta p=\rho_{\rm w} g\,h_{\rm w}.

Passo 2

Primeiro, determinamos o valor de \alpha. Dado \alpha=\arcsin\bigl(\tfrac12\bigr), temos
\alpha = 30^\circ.

Passo 3

A diferença de nível vertical do álcool no manômetro é
\Delta h_{\rm alc} = l \,\sin\alpha = 0{,}45\;\mathrm m \times \sin(30^\circ).

Passo 4

Como \sin(30^\circ)=0{,}5, segue
\Delta h_{\rm alc} = 0{,}45 \times 0{,}5 = 0{,}225\;\mathrm m.

Passo 5

A pressão correspondente a esse desnível de álcool é
\Delta p = \rho_{\rm alc}\,g\,\Delta h_{\rm alc}.
Para expressar \Delta p em milímetros de coluna de água, usamos
\Delta p = \rho_{\rm w}\,g\,h_{\rm w} \quad\Longrightarrow\quad h_{\rm w} = \frac{\rho_{\rm alc}\,\Delta h_{\rm alc}}{\rho_{\rm w}},
pois o g cancela.

Passo 6

Adotando \rho_{\rm w}=1000\:\mathrm{kg/m^3}, calculamos
h_{\rm w} = \frac{764\:\mathrm{kg/m^3}\,\times 0{,}225\:\mathrm m}{1000\:\mathrm{kg/m^3}} =0{,}1719\:\mathrm m =171{,}9\:\mathrm{mm}.

Resposta

A diferença de pressão medida equivale a aproximadamente 172 mm de coluna de água.

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