Um avião de salvamento voa a 198 \mathrm{~km} / \mathrm{h}(=55,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}), a uma altura constante de 500 m , rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa.
a) Em que distância a cápsula deve ser jogada para atingir o alvo?
b) Qual a velocidade ao atingir a água?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados fornecidos:
  • velocidade horizontal do avião: v_x = 55{,}0\\ \mathrm{m/s} (foi dado 198\\ \mathrm{km/h}, que equivale a 55{,}0\\ \mathrm{m/s});
  • altura constante da qual a balsa é largada: h = 500\\ \mathrm{m};
  • aceleração da gravidade (valor padrão usado): g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o enunciado pede:
  • (a) Em que distância horizontal, antes do ponto alvo, a cápsula deve ser largada para atingir o alvo? (ou seja, a distância horizontal que ela percorre enquanto cai).
  • (b) Qual é a velocidade da cápsula ao atingir a água?

Passo 2

Modelo físico e equações básicas (explicação didática do que vamos usar).
Quando desprezamos a resistência do ar:
  • o movimento horizontal é uniforme com velocidade constante v_x (porque não há força horizontal significativa);
  • o movimento vertical é uma queda livre a partir do repouso vertical relativo ao avião (ou seja, velocidade vertical inicial v_{y0}=0) com aceleração g para baixo.
Definições de variáveis:
  • t = tempo de queda (segundos);
  • h = altura inicial (metros);
  • v_x = componente horizontal da velocidade (metros por segundo);
  • v_y(t) = componente vertical da velocidade no instante t (metros por segundo);
  • d = distância horizontal percorrida durante a queda (metros);
  • v = velocidade escalar no impacto (metros por segundo).
Equações que usaremos (são as equações do movimento com aceleração constante):
  • para a queda vertical, partindo do repouso vertical:
h = \tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}
esta equação vem de \Delta y = v_{y0}t + \tfrac{1}{2} a t^{2} com v_{y0}=0 e a=g;
  • para a distância horizontal percorrida (movimento uniforme):
d = v_x\,t.
  • velocidade vertical ao cair por tempo t:
v_y = g\,t.
  • velocidade total ao impactar (resultante das componentes horizontal e vertical):
v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.

Passo 3

Calcular o tempo de queda t a partir de \;h = \tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Isolando t:
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Substituindo os valores (tudo em TeX):
t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 500}{9{,}8}}.
Fazendo as contas passo a passo:
\dfrac{2\cdot 500}{9{,}8}=\dfrac{1000}{9{,}8}\approx 102{,}040816\ldots
t \approx \sqrt{102{,}040816\ldots}\approx 10{,}10\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo de queda é aproximadamente t \approx 10{,}10\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a distância horizontal d que a cápsula percorre enquanto cai, usando d = v_x\,t.
Substituindo v_x = 55{,}0\\ \mathrm{m/s} e t \approx 10{,}10\\ \mathrm{s}:
d = 55{,}0 \times 10{,}10 \approx 555{,}5\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (dados têm cerca de 3 algarismos significativos), obtemos d \approx 556\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a componente vertical da velocidade no impacto: v_y = g\,t.
Usando g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e t \approx 10{,}10\\ \mathrm{s}:
v_y = 9{,}8 \times 10{,}10 \approx 99{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Isto significa que, verticalmente, a balsa chega com aproximadamente 99{,}0\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 6

Calcular a velocidade escalar no impacto usando v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.
Substituindo v_x = 55{,}0\\ \mathrm{m/s} e v_y \approx 99{,}0\\ \mathrm{m/s}:
v = \sqrt{(55{,}0)^{2} + (99{,}0)^{2}}.
Fazendo as contas:
(55{,}0)^{2}=3025{,}0,\qquad (99{,}0)^{2}=9801{,}0,
v = \sqrt{3025{,}0 + 9801{,}0} = \sqrt{12826{,}0}\approx 113{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando coerentemente com os dados, v \approx 113\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

556\\ \mathrm{m}
113\\ \mathrm{m/s}

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