Seja a posição de uma partícula dada por: r(t)=2 t \hat{\imath}+5 \hat{\jmath}-t^{2} k.
a) Determine a posição para t=2 s
b) Determine o deslocamento entre \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula como a função do tempo
\mathbf{r}(t)=2t\,\hat{\imath}+5\,\hat{\jmath}-t^{2}\,\hat{k},
e pede duas coisas:
  • (a) determinar a posição para t=2\\ \mathrm{s};
  • (b) determinar o deslocamento entre t=0 e t=3\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função \mathbf{r}(t) está dada componente a componente: a componente x vale 2t, a componente y vale 5 (constante) e a componente z vale -t^{2}.
  • Os vetores unitários são \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}.
  • Vamos interpretar as componentes como medidas de posição (por exemplo em metros). O tempo t está em segundos; nos cálculos manteremos explicitamente t com unidades quando for o caso.

Passo 2

Conceitos e método que vamos usar (explicação didática):
  • A posição em função do tempo \mathbf{r}(t) é um vetor cujas componentes dependem de t. Para obter a posição em um tempo específico basta substituir esse valor de t em cada componente. Por exemplo, se \mathbf{r}(t) = x(t)\,\hat{\imath}+y(t)\,\hat{\jmath}+z(t)\,\hat{k}, então
\mathbf{r}(t_0)=x(t_0)\,\hat{\imath}+y(t_0)\,\hat{\jmath}+z(t_0)\,\hat{k}.
  • O deslocamento vetorial entre um tempo inicial t_i e final t_f é definido por
\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(t_f)-\mathbf{r}(t_i).
Isto significa subtrair componente a componente: \Delta x=x(t_f)-x(t_i), \Delta y=y(t_f)-y(t_i), \Delta z=z(t_f)-z(t_i).

Passo 3

Aplicando o método para o item (a): calcular \mathbf{r}(2\\ \mathrm{s}) substituindo t=2 em cada componente.
  • Componente x: x(2)=2t\big|_{t=2}=2\cdot 2=4.
  • Componente y: y(2)=5 (é constante).
  • Componente z: z(2)=-t^{2}\big|_{t=2}=-(2)^{2}=-4.
Portanto, a posição para t=2\\ \mathrm{s} é
\mathbf{r}(2)=4\,\hat{\imath}+5\,\hat{\jmath}-4\,\hat{k}.

Passo 4

Agora vamos calcular o deslocamento entre t=0 e t=3. Primeiro precisamos das posições em t=0 e em t=3 separadamente, usando a mesma ideia de substituir o tempo nas componentes.

Passo 5

Calcular \mathbf{r}(0):
  • x(0)=2\cdot 0=0.
  • y(0)=5.
  • z(0)=-(0)^{2}=0.
Logo
\mathbf{r}(0)=0\,\hat{\imath}+5\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}=5\,\hat{\jmath}.

Passo 6

Calcular \mathbf{r}(3):
  • x(3)=2\cdot 3=6.
  • y(3)=5.
  • z(3)=-(3)^{2}=-9.
Logo
\mathbf{r}(3)=6\,\hat{\imath}+5\,\hat{\jmath}-9\,\hat{k}.

Passo 7

Agora o deslocamento é
\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(3)-\mathbf{r}(0).
Fazendo a subtração componente a componente:
  • Componente x: 6-0=6.
  • Componente y: 5-5=0.
  • Componente z: -9-0=-9.
Portanto
\Delta \mathbf{r}=6\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}-9\,\hat{k}=6\,\hat{\imath}-9\,\hat{k}.

Resposta

(a) \mathbf{r}(2)=4\,\hat{\imath}+5\,\hat{\jmath}-4\,\hat{k}
(b) \Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}(3)-\mathbf{r}(0)=6\,\hat{\imath}-9\,\hat{k}

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