Um carro se movimenta unidimensionalmente a uma aceleração dada por \mathrm{a}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}. Calcule a velocidade e a posição para \mathrm{t}=5, sabendo que em \mathrm{t}=0 a velocidade era de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a posição era \mathrm{x}=15 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A aceleração é \mathrm{a}(t)=2t (unidimensional).
  • Condições iniciais: \mathrm{v}(0)=10\\ \mathrm{m/s} e \mathrm{x}(0)=15\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede: a velocidade em t=5 e a posição em t=5.

Passo 2

Relação entre aceleração e velocidade; obter \mathrm{v}(t).
  • Definição: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \mathrm{a}(t)=\dfrac{d\mathrm{v}}{dt}.
  • Para obter \mathrm{v}(t) fazemos a integral da aceleração:
\mathrm{v}(t)=\int \mathrm{a}(t)\,dt + C_1.
  • Substituindo \mathrm{a}(t)=2t temos
\mathrm{v}(t)=\int 2t\,dt + C_1.
  • Calcule a integral: a integral de 2t em t é t^2 (porque \dfrac{d}{dt}(t^2)=2t). Assim
\mathrm{v}(t)=t^2 + C_1.
  • Use a condição inicial \mathrm{v}(0)=10: ao substituir t=0 obtemos 10=0^2 + C_1, logo C_1=10.
  • Portanto
\mathrm{v}(t)=t^2+10.
  • Agora calcule \mathrm{v}(5): como 5^2=25,
\mathrm{v}(5)=25+10=35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Relação entre velocidade e posição; obter \mathrm{x}(t).
  • Definição: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, \mathrm{v}(t)=\dfrac{d\mathrm{x}}{dt}.
  • Para obter \mathrm{x}(t) integramos \mathrm{v}(t):
\mathrm{x}(t)=\int \mathrm{v}(t)\,dt + C_2.
  • Substituindo \mathrm{v}(t)=t^2+10 temos
\mathrm{x}(t)=\int (t^2+10)\,dt + C_2.
  • Integre termo a termo: \int t^2\,dt=\dfrac{1}{3}t^3 e \int 10\,dt=10t. Assim
\mathrm{x}(t)=\dfrac{1}{3}t^3 + 10t + C_2.
  • Use a condição inicial \mathrm{x}(0)=15: ao substituir t=0 obtemos 15=\dfrac{1}{3}\cdot0^3 + 10\cdot0 + C_2, logo C_2=15.
  • Portanto
\mathrm{x}(t)=\dfrac{1}{3}t^3 + 10t + 15.

Passo 4

Calcular \mathrm{x}(5) com contas explícitas (sem calculadora).
  • Primeiro calcule t^3 em t=5: 5^3=125.
  • Então \dfrac{1}{3}t^3 = \dfrac{125}{3}.
  • Calcule 10t em t=5: 10\cdot5=50.
  • Some os termos e a constante: \mathrm{x}(5)=\dfrac{125}{3} + 50 + 15.
  • Escrevendo 50+15=65 e colocando em denominador comum:
65=\dfrac{195}{3},
então
\mathrm{x}(5)=\dfrac{125}{3}+\dfrac{195}{3}=\dfrac{320}{3}\\ \mathrm{m}.
  • Em forma decimal \dfrac{320}{3}\approx106,666\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário final:
  • Verifique que derivando \mathrm{v}(t)=t^2+10 obtém-se \dfrac{d\mathrm{v}}{dt}=2t, que coincide com a aceleração dada — tudo consistente.
  • Dica para prova: sempre integre a aceleração para obter a velocidade (lembrando da constante de integração) e depois integre a velocidade para obter a posição; use as condições iniciais para achar as constantes. Faça as potências de inteiros pequenos (como 5^2, 5^3) manualmente para evitar calculadora.

Resposta

\mathrm{v}(5)=35\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{x}(5)=\dfrac{320}{3}\\ \mathrm{m}\approx106,666\ldots\\ \mathrm{m}

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