Um carro se movimenta unidimensionalmente a uma aceleração dada por
. Calcule a velocidade e a posição para
, sabendo que em
a velocidade era de
e a posição era
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A aceleração é
(unidimensional). - Condições iniciais:
e . - O enunciado pede: a velocidade em
e a posição em .
Passo 2
Relação entre aceleração e velocidade; obter
.
- Definição: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. - Para obter
fazemos a integral da aceleração:
- Substituindo
temos
- Calcule a integral: a integral de
em é (porque ). Assim
- Use a condição inicial
: ao substituir obtemos , logo . - Portanto
- Agora calcule
: como ,
Passo 3
Relação entre velocidade e posição; obter
.
- Definição: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo,
. - Para obter
integramos :
- Substituindo
temos
- Integre termo a termo:
e . Assim
- Use a condição inicial
: ao substituir obtemos , logo . - Portanto
Passo 4
Calcular
com contas explícitas (sem calculadora).
- Primeiro calcule
em : . - Então
. - Calcule
em : . - Some os termos e a constante:
. - Escrevendo
e colocando em denominador comum:
então
- Em forma decimal
.
Passo 5
Verificação rápida e comentário final:
- Verifique que derivando
obtém-se , que coincide com a aceleração dada — tudo consistente. - Dica para prova: sempre integre a aceleração para obter a velocidade (lembrando da constante de integração) e depois integre a velocidade para obter a posição; use as condições iniciais para achar as constantes. Faça as potências de inteiros pequenos (como
, ) manualmente para evitar calculadora.