Um avião ultraleve está com o corpo direcionado de sul para o norte. Seu indicador de velocidade em relação ao ar mostra vA / A r=40 m / s. O avião está submetido a um vento de vA r / T=15 m / s que sopra para o sudoeste em relação à Terra.
© Agora, se o avião precisa chegar a uma cidade que fica 300km a noroeste do ponto de partida, para onde o piloto deve apontar o avião para chegar a seu destino, mantendo vA / A r=40 m / s ? Quanto tempo durará a viagem?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é um problema de velocidade relativa e vetores na matéria de Cinemática Vetorial. O enunciado (parte c) diz que o avião quer ir para uma cidade que fica 300 km a noroeste do ponto de partida. A velocidade do avião em relação ao ar é vA/Ar=40,m/s e o vento (ar em relação à Terra) é vAr/T=15,m/s soprando para sudoeste.
O que vamos usar:
  • Sistema de eixos cartesianos (x para leste, y para norte).
  • Vetor velocidade resultante vA/T=vA/Ar+vAr/T.
  • Unidade NW (noroeste) tem componentes iguais em módulo, x negativo e y positivo.
  • Resolução do ângulo de proa e cálculo do tempo a partir da rapidez resultante.

Passo 2

Definir vetores no nosso sistema:
  1. Unidade noroeste: hat uNW=l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)
    2) Vento (Ar→Terra), 15,m/s para sudoeste (SW = l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)):
    vec vAr/T = 15;l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)
  2. Avião em relação ao ar, 40,m/s, na direção que o piloto aponta. Seja theta o ângulo entre a proa e o eixo norte, positivo para leste. O vetor é: vec vA/Ar=40;(sintheta,;costheta)
Então a velocidade em relação à Terra é
vec vA/T = vec vA/Ar + vec vAr/T = l(40sintheta,;40costhetar) +15l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r),

Passo 3

Queremos que vec vA/T aponte exatamente para noroeste, ou seja, seja paralelo a hat uNW. Isso implica que suas componentes satisfaçam:
vA/T,x = -,vA/T,y,
Calculando:
vA/T,x = 40sintheta ;-;dfrac15raiz2,[6pt] vA/T,y = 40costheta ;-;dfrac15raiz2
Então impomos
40sintheta - tfrac15raiz2 ;=;-,l(40costheta - tfrac15raiz2r) ;;Longrightarrow;; 40sintheta + 40costheta = tfrac30raiz2
Dividindo por 40,
sintheta + costheta = 3040raiz2 = 34raiz2
Usando a identidade sintheta+costheta=raiz2,sin(theta+45^circ),
raiz2,sin(theta+45^circ)=34raiz2 ;Longrightarrow; sin(theta+45^circ)=38
Daí
theta+45^circ = arcsin!l(tfrac38r)approx22.0^circ Longrightarrow thetaapprox22.0^circ -45^circ = -23.0^circ
Logo o piloto deve apontar 23° a oeste do norte, ou em notação de bússola: N 23° W.

Passo 4

Agora a rapidez resultante |vec vA/T| vale
|vec vA/T| = l|40sintheta - tfrac15raiz2r|raiz2 (because vx!=!-vy,,|!vx!|!=!|!vy!|),
com theta=-23.0^circ, calcula-se
|vec vA/T|approx26.23raiz2approx37.1 m/s
Distância até a cidade: D=300,km=300000,m.
Tempo de voo:
t = D|vec vA/T| approx 30000037.1approx8084 sapprox2 h 14 min 44 s

Resposta

O piloto deve apontar o avião em N 23° W (23° a oeste do norte) e o voo durará cerca de 2 h 15 min.

Exercícios relacionados