Um avião ultraleve está com o corpo direcionado de sul para o norte. Seu indicador de velocidade em relação ao ar mostra vA / A r=40 m / s. O avião está submetido a um vento de vA r / T=15 m / s que sopra para o sudoeste em relação à Terra.
(b) Usando a coordenada x para leste e a coordenada y para norte, determine os componentes de vA / T e seu módulo. Para onde aponta vA / T ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a velocidade de um avião ultraleve em relação à Terra, considerando a velocidade do avião em relação ao ar e a velocidade do vento. Vamos usar vetores e decomposição de vetores em coordenadas x (leste) e y (norte) para resolver. Precisaremos saber como somar vetores e calcular suas componentes e módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores que temos:
  1. Velocidade do avião em relação ao ar ( vA / Ar): 40 m/s direcionada de sul para norte.
  2. Velocidade do vento em relação à Terra ( vAr / T): 15 m/s soprando para sudoeste.
Nosso objetivo é encontrar a velocidade do avião em relação à Terra ( vA / T) e suas componentes nas direções x e y.

Passo 3

Para encontrar vA / T, precisamos somar vetorialmente a velocidade do avião em relação ao ar com a velocidade do vento. Isso significa que vamos decompor cada vetor nas direções x e y, somar essas componentes separadamente e depois calcular o módulo e a direção do vetor resultante.

Passo 4

Vamos decompor os vetores:
  1. vA / Ar = 40 m/s de sul para norte:
    • Direção totalmente para o norte, então:
      • Componente x: 0 m/s
      • Componente y: 40 m/s
  2. vAr / T = 15 m/s para sudoeste:
    • Sudoeste significa 45° entre sul e oeste, ou seja, -45° em relação ao eixo y.
    • Calculamos as componentes:
      • Componente x: 15 cos(225°) = 15 times (-raiz22) = -15raiz22 m/s
      • Componente y: 15 sin(225°) = 15 times (-raiz22) = -15raiz22 m/s

Passo 5

Agora, somamos as componentes dos vetores para encontrar vA / T:
  • Componente x de vA / T:
    0 + (-15raiz22) = -15raiz22 m/s
  • Componente y de vA / T:
    40 + (-15raiz22) = 40 - 15raiz22 m/s

Passo 6

Para encontrar o módulo de vA / T, usamos o Teorema de Pitágoras:
|vA / T| = raiz(-15raiz22)^2 + (40 - 15raiz22)^2
Calculando:
(-15raiz22)^2 = 225 times 24 = 4504 = 112,5 m²/s² ²²
(40 - 15raiz22)^2 approx (40 - 10,6066)^2 approx 29,3934^2 approx 864,6 m²/s² ²²
Então:
|vA / T| = raiz112,5 + 864,6 = raiz977,1 approx 31,27 m/s

Passo 7

Para achar a direção de vA / T, calculamos o ângulo theta em relação ao eixo x (leste):
theta = arctan(vyvx) = arctan(40 - 15raiz22-15raiz22)
Calculando os valores numéricos:
theta = arctan(40 - 10,6066-10,6066) = arctan(29,3934-10,6066) approx arctan(-2,77)
Isso nos dá um ângulo negativo no segundo quadrante, então a direção é aproximadamente 70 graus a oeste do norte.

Resposta

Os componentes de vA / T são aproximadamente -10,61 m/s na direção leste (x) e 29,39 m/s na direção norte (y). O módulo da velocidade é cerca de 31,27 m/s, apontando aproximadamente 70 graus a oeste do norte.

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