em função do tempo para uma dada partícula seja:
. Escreva cada uma das grandezas abaixo, em função do tempo.
(b) O módulo da componente da aceleração que é paralela à velocidade.
(b) O módulo da componente da aceleração que é paralela à velocidade.
Passo 1
Beleza! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo:
O exercício pede, na parte (b), o módulo da componente da aceleração que é paralela à velocidade, tudo em função de
.
Conteúdo: cinemática vetorial (derivadas pra achar velocidade e aceleração) e projeção de vetores (produto escalar). A gente vai precisar:
Conteúdo: cinemática vetorial (derivadas pra achar velocidade e aceleração) e projeção de vetores (produto escalar). A gente vai precisar:
- derivar pra achar
e , - usar a fórmula da projeção de
sobre , - tirar o módulo dessa componente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade
derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora a aceleração
é a derivada de
:
Percebe que a aceleração é constante e aponta no eixo
.
Passo 4
Pra achar a componente de
que é paralela a
, usamos a projeção de
sobre
:
Mas a gente só quer o módulo dessa componente, e há uma fórmula mais direta:
Passo 5
Agora calculamos cada parte:
-
Produto escalar
:vec a = (0,2), vec v = (3,2t) ;Longrightarrow; vec a!cdot!vec v = 0cdot3 + 2cdot(2t) = 4t |vec v| = raiz3^2 + (2t)^2 = raiz9 + 4t^2 -
Módulo de
:l|vec aparal<=lr| = |4t|raiz9 + 4t^2 -
EntãoSe considerarmos
, dá simplesmente
.