em função do tempo para uma dada partícula seja: r=(3 m / s) t i+(1 m / s^2) t^2 j. Escreva cada uma das grandezas abaixo, em função do tempo.
(b) O módulo da componente da aceleração que é paralela à velocidade.

Passo 1

Beleza! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo:
vec r(t) = (3,m/s),t,hat i ;+;(1,m/s^2),t^2,hat j
O exercício pede, na parte (b), o módulo da componente da aceleração que é paralela à velocidade, tudo em função de .
Conteúdo: cinemática vetorial (derivadas pra achar velocidade e aceleração) e projeção de vetores (produto escalar). A gente vai precisar:
  1. derivar pra achar e ,
  2. usar a fórmula da projeção de sobre ,
  3. tirar o módulo dessa componente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade vec v(t) = dvec rdt = ddtl(3t,hat i + t^2,hat jr) = 3,hat i + 2t,hat j derivando em relação a :

Passo 3

Agora a aceleração vec a(t) = dvec vdt = ddtl(3,hat i + 2t,hat jr) = 0,hat i + 2,hat j = 2,hat j é a derivada de :
Percebe que a aceleração é constante e aponta no eixo .

Passo 4

Pra achar a componente de vec aparal<=l = (vec a!cdot!vec v|vec v|^2),vec v que é paralela a l|vec aparal<=lr| = l|vec a!cdot!vec vr||vec v| , usamos a projeção de sobre :
Mas a gente só quer o módulo dessa componente, e há uma fórmula mais direta:

Passo 5

Agora calculamos cada parte:
  1. Produto escalar vec a = (0,2), vec v = (3,2t) ;Longrightarrow; vec a!cdot!vec v = 0cdot3 + 2cdot(2t) = 4t :
    |vec v| = raiz3^2 + (2t)^2 = raiz9 + 4t^2
  2. Módulo de l|vec aparal<=lr| = |4t|raiz9 + 4t^2 :
  3. Então
    Se considerarmos , dá simplesmente
    .

Resposta

boxedl|vec aparal<=lr|(t) = 4,traiz9 + 4,t^2(m/s^2)

Exercícios relacionados