Um avião voa em velocidade e altitude constantes, segundo uma reta que o levará a passar diretamente sobre uma estação de radar no solo. No instante em que o avião está a 18.000 metros acima dela, um observador nela postado, com o auxílio de aparelhos, percebe que o ângulo de elevação do avião é 30^{\circ} e que está aumentando à razão de 0,5^{\circ} por segundo. Qual será o deslocamento horizontal desse avião, passado meio minuto? Considere \sqrt{3} \cong 1,73.
a) 36.000 m .
b) 31.177 m .
c) 25.456 m .
d) 13.140 m .
e) 6.588 m .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Altura constante do avião em relação à estação: h=18.000\\ \text{m}.
  • No instante considerado, o ângulo de elevação é \theta_0=30^\circ.
  • O ângulo está aumentando à razão \dfrac{d\theta}{dt}=0,5^\circ/\text{s}.
  • Pergunta: qual será o deslocamento horizontal do avião, passado meio minuto (ou seja, após 30\\ \text{s})?
Informações relevantes extraídas do enunciado: h=18.000, \theta_0=30^\circ, \dfrac{d\theta}{dt}=0,5^\circ/\text{s}, intervalo de tempo \Delta t=30\\ \text{s}. Também foi dado que \sqrt{3}\cong1,73.

Passo 2

Modelagem geométrica (passo a passo do que usar).
  • Colocar a estação no solo em um ponto O e a projeção vertical do avião no solo a uma distância horizontal x de O. A parede do triângulo retângulo tem cateto oposto h (altura) e cateto adjacente x.
  • A relação trigonométrica que liga \theta, h e x é a tangente:
\tan\theta=\frac{h}{x}.
  • Desse modo, isolando x,
x=h\cot\theta,
onde \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}. Isso significa: para um dado ângulo \theta a distância horizontal é h multiplicado pela cotangente de \theta.
(Comentário didático: \tan\theta é a razão entre o cateto oposto e o adjacente; \cot\theta é o inverso de \tan\theta.)

Passo 3

Calcular o novo ângulo após 30\\ \text{s}.
  • O ângulo varia linearmente com o tempo porque a razão \dfrac{d\theta}{dt} é constante.
  • A variação de ângulo em 30\\ \text{s} é
\Delta\theta=\left(0,5^\circ/\text{s}\right)\cdot30\\ \text{s}=15^\circ.
  • Portanto o ângulo final é
\theta_1=\theta_0+\Delta\theta=30^\circ+15^\circ=45^\circ.
(Observação didática: aqui não foi preciso converter para radianos porque não estamos diferenciando/integrando funções trigonométricas — apenas avaliando trigonometria com ângulos em graus.)

Passo 4

Calcular a distância horizontal inicial x_0 (no instante dado) e a final x_1 (após 30\\ \text{s}) usando x=h\cot\theta.
  • Distância inicial:
x_0 = h\cot(30^\circ).
Lembrando que \cot(30^\circ)=\sqrt{3}. Usando \sqrt{3}\cong1,73 e h=18.000:
x_0 = 18.000\cdot 1,73 = 31.140\\ \text{m}.
  • Distância final:
x_1 = h\cot(45^\circ).
Sabendo que \cot(45^\circ)=1:
x_1 = 18.000\cdot 1 = 18.000\\ \text{m}.
(Explicação: cotangente de 30^\circ é \sqrt{3} porque \tan30^\circ=1/\sqrt{3}; cotangente de 45^\circ é 1 porque \tan45^\circ=1.)

Passo 5

Calcular o deslocamento horizontal ocorrido no intervalo de 30\\ \text{s}.
  • Como o avião se aproxima da estação (ângulo aumenta), o deslocamento horizontal em módulo é
\Delta x = x_0-x_1.
Substituindo os valores:
\Delta x = 31.140-18.000 = 13.140\\ \text{m}.
(Interpretação: o avião percorre 13.140\\ \text{m} horizontalmente em 30\\ \text{s} nesse trecho.)

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade e escolha da alternativa.
  • O valor obtido 13.140\\ \text{m} corresponde à alternativa d).
  • Tudo coerente com os valores e com a aproximação \sqrt{3}\cong1,73 fornecida pelo enunciado.

Resposta

d) 13.140\\ \text{m}

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