Um avião voa em velocidade e altitude constantes, segundo uma reta que o levará a passar diretamente sobre uma estação de radar no solo. No instante em que o avião está a 18.000 metros acima dela, um observador nela postado, com o auxílio de aparelhos, percebe que o ângulo de elevação do avião é
e que está aumentando à razão de
por segundo. Qual será o deslocamento horizontal desse avião, passado meio minuto? Considere
.
a) 36.000 m .
b) 31.177 m .
c) 25.456 m .
d) 13.140 m .
e) 6.588 m .
a) 36.000 m .
b) 31.177 m .
c) 25.456 m .
d) 13.140 m .
e) 6.588 m .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Altura constante do avião em relação à estação:
. - No instante considerado, o ângulo de elevação é
. - O ângulo está aumentando à razão
. - Pergunta: qual será o deslocamento horizontal do avião, passado meio minuto (ou seja, após
)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
,
, intervalo de tempo
. Também foi dado que
.
Passo 2
Modelagem geométrica (passo a passo do que usar).
- Colocar a estação no solo em um ponto
e a projeção vertical do avião no solo a uma distância horizontal de . A parede do triângulo retângulo tem cateto oposto (altura) e cateto adjacente . - A relação trigonométrica que liga
, e é a tangente:
- Desse modo, isolando
,
onde
. Isso significa: para um dado ângulo
a distância horizontal é
multiplicado pela cotangente de
.
(Comentário didático:
é a razão entre o cateto oposto e o adjacente;
é o inverso de
.)
Passo 3
Calcular o novo ângulo após
.
- O ângulo varia linearmente com o tempo porque a razão
é constante. - A variação de ângulo em
é
- Portanto o ângulo final é
(Observação didática: aqui não foi preciso converter para radianos porque não estamos diferenciando/integrando funções trigonométricas — apenas avaliando trigonometria com ângulos em graus.)
Passo 4
Calcular a distância horizontal inicial
(no instante dado) e a final
(após
) usando
.
- Distância inicial:
Lembrando que
. Usando
e
:
- Distância final:
Sabendo que
:
(Explicação: cotangente de
é
porque
; cotangente de
é
porque
.)
Passo 5
Calcular o deslocamento horizontal ocorrido no intervalo de
.
- Como o avião se aproxima da estação (ângulo aumenta), o deslocamento horizontal em módulo é
Substituindo os valores:
(Interpretação: o avião percorre
horizontalmente em
nesse trecho.)
Passo 6
Verificação rápida de plausibilidade e escolha da alternativa.
- O valor obtido
corresponde à alternativa d). - Tudo coerente com os valores e com a aproximação
fornecida pelo enunciado.
Resposta
d)