Rédson é aluno dedicado e talentoso, sobretudo em operações numéricas. Ele, então, elaborou a expressão numérica indicada abaixo.
Rédson lançou o desafio a seus colegas de sala para que determinassem o valor da soma dos algarismos presentes no resultado da expressão
ao quadrado. Qual o valor encontrado?
a) 9 .
b) 22 .
c) 26 .
d) 27 .
a) 9 .
b) 22 .
c) 26 .
d) 27 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A expressão é
- Cada termo tem numerador formado por repetições do bloco
e denominador formado por repetições do bloco . - O numerador e o denominador do último termo têm
algarismos cada. - O problema pede: determinar a soma dos algarismos de
.
Observação imediata que vamos usar: o bloco
tem
algarismos, logo o número de repetições necessárias para chegar a
algarismos é
Portanto há
termos na soma (os termos correspondem a
).
Passo 2
Modelar o
-ésimo termo com notação e entender a forma repetida.
- Denote por
o numerador formado por repetições de e por o denominador formado por repetições de . Por exemplo, para ,
- Para escrever
de forma algébrica, note que repetir vezes equivale a
Analogamente
Passo 3
Explicar e aplicar a soma de uma progressão geométrica (a ferramenta que usamos).
- Seja
a soma dos potes de que aparecem acima:
- A fórmula da soma de uma progressão geométrica finita com razão
(quando ) é
Aqui
. Aplicando essa fórmula:
- Então podemos escrever
Passo 4
Simplificar o
-ésimo termo usando a representação anterior.
Usando
e
, o
-ésimo termo da soma é
Como
, o fator
cancela e obtemos
ou seja, todos os termos da soma são iguais a
. (Isto fica claro também em um exemplo numérico: para
,
.)
Passo 5
Somar todos os termos sabendo que são todos iguais.
Como há
termos e cada termo vale
, tem-se
Compute passo a passo: primeiro simplifica
:
logo
Passo 6
Calcular o quadrado
.
Temos
. Calcular
de forma direta e bem explicada:
Agora calcule cada termo:
Somando:
Passo 7
Calcular a soma dos algarismos de
.
O número
é
. Soma dos dígitos: