Rédson é aluno dedicado e talentoso, sobretudo em operações numéricas. Ele, então, elaborou a expressão numérica indicada abaixo.
R=\frac{57}{37}+\frac{5757}{3737}+\frac{575757}{373737}+\cdots+\frac{\overbrace{575757 \cdots 57}^{148 \text { algarismos }}}{\underbrace{373737 \cdots 37}_{148 \text { algarismos }}}
Rédson lançou o desafio a seus colegas de sala para que determinassem o valor da soma dos algarismos presentes no resultado da expressão R ao quadrado. Qual o valor encontrado?
a) 9 .
b) 22 .
c) 26 .
d) 27 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A expressão é
R=\frac{57}{37}+\frac{5757}{3737}+\frac{575757}{373737}+\cdots+\frac{\overbrace{575757\cdots57}^{148\\ \text{algarismos}}}{\underbrace{373737\cdots37}_{148\\ \text{algarismos}}}.
  • Cada termo tem numerador formado por repetições do bloco 57 e denominador formado por repetições do bloco 37.
  • O numerador e o denominador do último termo têm 148 algarismos cada.
  • O problema pede: determinar a soma dos algarismos de R^2.
Observação imediata que vamos usar: o bloco 57 tem 2 algarismos, logo o número de repetições necessárias para chegar a 148 algarismos é
\frac{148}{2}=74.
Portanto há 74 termos na soma (os termos correspondem a k=1,2,\dots,74).

Passo 2

Modelar o k-ésimo termo com notação e entender a forma repetida.
  • Denote por A_k o numerador formado por k repetições de 57 e por B_k o denominador formado por k repetições de 37. Por exemplo, para k=3,
A_3=575757,\qquad B_3=373737.
  • Para escrever A_k de forma algébrica, note que repetir 57 k vezes equivale a
A_k=57\bigl(10^{2(k-1)}+10^{2(k-2)}+\cdots+10^{2}+1\bigr).
Analogamente
B_k=37\bigl(10^{2(k-1)}+10^{2(k-2)}+\cdots+10^{2}+1\bigr).

Passo 3

Explicar e aplicar a soma de uma progressão geométrica (a ferramenta que usamos).
  • Seja S_k a soma dos potes de 10^{2j} que aparecem acima:
S_k=\sum_{j=0}^{k-1}10^{2j}=1+10^2+10^4+\cdots+10^{2(k-1)}.
  • A fórmula da soma de uma progressão geométrica finita com razão r (quando r\neq1) é
\sum_{j=0}^{k-1} r^j = \frac{r^k-1}{r-1}.
Aqui r=10^2=100. Aplicando essa fórmula:
S_k=\frac{100^{\,k}-1}{100-1}=\frac{100^{\,k}-1}{99}.
  • Então podemos escrever
A_k=57\,S_k,\qquad B_k=37\,S_k.

Passo 4

Simplificar o k-ésimo termo usando a representação anterior.
Usando A_k=57S_k e B_k=37S_k, o k-ésimo termo da soma é
\frac{A_k}{B_k}=\frac{57S_k}{37S_k}.
Como S_k\neq0, o fator S_k cancela e obtemos
\frac{A_k}{B_k}=\frac{57}{37},
ou seja, todos os termos da soma são iguais a \dfrac{57}{37}. (Isto fica claro também em um exemplo numérico: para k=3, 575757/373737=57/37.)

Passo 5

Somar todos os termos sabendo que são todos iguais.
Como há 74 termos e cada termo vale \dfrac{57}{37}, tem-se
R=74\cdot\frac{57}{37}.
Compute passo a passo: primeiro simplifica \dfrac{74}{37}:
\frac{74}{37}=2,
logo
R=2\cdot57=114.

Passo 6

Calcular o quadrado R^2.
Temos R=114. Calcular 114^2 de forma direta e bem explicada:
114^2=(100+14)^2=100^2+2\cdot100\cdot14+14^2.
Agora calcule cada termo:
100^2=10000,\qquad 2\cdot100\cdot14=2800,\qquad 14^2=196.
Somando:
114^2=10000+2800+196=12996.

Passo 7

Calcular a soma dos algarismos de R^2.
O número R^2 é 12996. Soma dos dígitos:
1+2+9+9+6=27.

Resposta

\,27

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