a) Calcule o integral de linha de , do ponto para o ponto , através do caminho mais curto. Repita o cálculo para um caminho parabólico. Tire conclusões.
b) Verifique que o campo pode representar um campo electrostático.
c) Calcule a divergência do campo e interprete o resultado dado o significado físico de .
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos um campo vetorial
a) Queremos calcular a integral de linha do ponto até , primeiro pelo caminho mais curto (reta) e depois por um caminho parabólico, e comparar.
b) Precisamos mostrar que pode ser um campo eletrostático, ou seja, que ele é conservativo.
c) Calcular e interpretar o resultado fisicamente (já que está ligado à densidade de carga).
Para resolver isso a gente vai usar:
Parametrização de curvas para integral de linha.
Critério de campo conservativo (curl zero) e construção de potencial escalar.
Definição de divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o campo é conservativo. A teoria diz que, em região simplesmente conexa e desde que , existe um potencial tal que .
Calculemos o rotacional:
Componentes:
Componente : .
Componente : .
Componente : .
Logo . Então é conservativo e tem um potencial .
Mesmo que a gente escolha o caminho mais curto (reta) ou um caminho tipo (parabólico), o resultado será o mesmo , porque para campo conservativo a integral não depende do caminho. Essa é a conclusão.
Passo 6
b) A verificação de que pode ser um campo eletrostático vem do fato de e da existência de potencial . Num campo eletrostático, , ele é conservativo.