Ax=6 x y, Ay=3 x^2-3 y^2, Az=0
a) Calcule o integral de linha de A, do ponto (0,0,0) para o ponto (2,4,0), através do caminho mais curto. Repita o cálculo para um caminho parabólico. Tire conclusões.
b) Verifique que o campo A pode representar um campo electrostático.
c) Calcule a divergência do campo A e interprete o resultado dado o significado físico de nabla cdot E.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos um campo vetorial
A(x,y,z) = (Ax, Ay, Az) = l(6xy,;3x^2 - 3y^2,;0r)
a) Queremos calcular a integral de linha do ponto até , primeiro pelo caminho mais curto (reta) e depois por um caminho parabólico, e comparar.
b) Precisamos mostrar que pode ser um campo eletrostático, ou seja, que ele é conservativo.
c) Calcular e interpretar o resultado fisicamente (já que está ligado à densidade de carga).
Para resolver isso a gente vai usar:
  • Parametrização de curvas para integral de linha.
  • Critério de campo conservativo (curl zero) e construção de potencial escalar.
  • Definição de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o campo é conservativo. A teoria diz que, em região simplesmente conexa e desde que nablatimesA = i&j&k partialx&partialy&partialz 6xy&3x^2-3y^2&0 , existe um potencial tal que .
Calculemos o rotacional:
Componentes:
  • Componente : .
  • Componente : .
  • Componente : .
    Logo . Então é conservativo e tem um potencial .

Passo 3

Para achar partialphipartial x=6xy Longrightarrow phi(x,y,z)=integral 6xy,dx=3x^2y + g(y,z) , integramos:
partialphipartial y =3x^2 + partial gpartial y ;=;Ay=3x^2-3y^2 ;Longrightarrow; partial gpartial y=-3y^2
Agora impomos
g(y,z)=integral(-3y^2),dy=-y^3 + h(z)
Integrando em partialphipartial z =dhdz=Az=0 ;Longrightarrow;h(z)=constante :
phi(x,y,z)=3x^2y - y^3
Por fim,
Então podemos tomar

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais:
integralCAcdot dr =phil(2,4,0r)-phi(0,0,0)
Calculemos:
phi(2,4,0)=3cdot 2^2cdot4 - 4^3 =3cdot4cdot4 -64 =48-64=-16,
phi(0,0,0)=0
Logo
integralCAcdot dr = -16

Passo 5

Mesmo que a gente escolha o caminho mais curto (reta) ou um caminho tipo (parabólico), o resultado será o mesmo , porque para campo conservativo a integral não depende do caminho. Essa é a conclusão.

Passo 6

b) A verificação de que pode ser um campo eletrostático vem do fato de e da existência de potencial . Num campo eletrostático, , ele é conservativo.

Passo 7

c) Agora a divergência:
nablacdotA =partialpartial x(6xy) +partialpartial y(3x^2-3y^2) +partialpartial z(0) =6y + (0-6y) + 0 = 0
Fisicamente, em eletrostática, . Se , a “densidade de carga” associada seria zero em toda parte.

Resposta

Integral de linha (reta ou parábola): .
Campo é conservativo (portanto eletrostático).
Divergência: , indicando ausência de carga.

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