Numa determinada região do espaço, o campo eléctrico é dado por:
Verifique se nessa região do espaço existe ou não uma distribuição de carga eléctrica.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um campo elétrico
e a gente tem que descobrir se existe carga elétrico distribuída ali.
Isso é eletrostática básica: a lei de Gauss local em forma diferencial diz
Então a gente só precisa calcular a divergência de E (∇·E) e ver se ela é zero ou não.
Passo 2
Vamos calcular
Aqui
com
.
Então, por exemplo,
Então, por exemplo,
$$\frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr)
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{x2}{r3}\Bigr).
\frac{\partial E_y}{\partial y}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{y2}{r3}\Bigr),\quad
\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{z2}{r3}\Bigr).$$
Passo 3
Somando tudo:
Agrupando:
Como isso é diferente de zero (para
), existe carga ali.
Pela lei de Gauss local, , vem
Pela lei de Gauss local,
Resposta
Existe sim distribuição de carga no espaço, com densidade