Numa determinada região do espaço, o campo eléctrico é dado por:
E=14 pi varepsilon0(xraizx^2+y^2+z^2 imath+yraizx^2+y^2+z^2 jmath+zraizx^2+y^2+z^2 k)
Verifique se nessa região do espaço existe ou não uma distribuição de carga eléctrica.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo elétrico
E=14pivarepsilon0l(xraizx^2+y^2+z^2hatimath+yraizx^2+y^2+z^2hatjmath+zraizx^2+y^2+z^2hat kr)
e a gente tem que descobrir se existe carga elétrico distribuída ali.
Isso é eletrostática básica: a lei de Gauss local em forma diferencial diz
nablacdotE=rhovarepsilon0
Então a gente só precisa calcular a divergência de E (∇·E) e ver se ela é zero ou não.

Passo 2

Vamos calcular
nablacdotE=partial Expartial x+partial Eypartial y+partial Ezpartial z
Aqui
Ex=14pivarepsilon0xr, Ey=14pivarepsilon0yr, Ez=14pivarepsilon0zr,
com r=raizx^2+y^2+z^2.
Então, por exemplo,
$$\frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr)
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{x2}{r3}\Bigr). partial Expartial x=14pivarepsilon0,partialpartial xl(xrr) =14pivarepsilon0l(1r-x^2r^3r)á\frac{\partial E_y}{\partial y}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{y2}{r3}\Bigr),\quad
\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{z2}{r3}\Bigr).$$

Passo 3

Somando tudo:
nablacdotE=14pivarepsilon0l[ l(1r-x^2r^3r)+ l(1r-y^2r^3r)+ l(1r-z^2r^3r)r]
Agrupando:
nablacdotE=14pivarepsilon0l(3r-x^2+y^2+z^2r^3r) =14pivarepsilon0l(3r-r^2r^3r) =14pivarepsilon0,2r =12pivarepsilon0,r
Como isso é diferente de zero (para rneq0), existe carga ali.
Pela lei de Gauss local, rho=varepsilon0,nablacdotE, vem
rho(r)=varepsilon0cdot12pivarepsilon0,r=12pi,r

Resposta

Existe sim distribuição de carga no espaço, com densidade
rho(r)=12pi,r(r>0)

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