Uma xícara de café é colocada em uma sala onde a temperatura ambiente é mantida constante a 25^circ C. Inicialmente, a temperatura do café é de 95^circ C. Após 10 minutos, a temperatura do café diminuiu para 75^circ C. Determine:
(b) A temperatura do café após 20 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma xícara de café numa sala que tá sempre a 25^circ C. No começo, o café tá quente, a 95^circ C. Depois de 10 minutos, ele esfriou até 75^circ C. O que a gente precisa descobrir é qual a temperatura do café depois de 20 minutos. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula dessa lei é:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) cdot e^-kt
Onde:
  • T(t) é a temperatura do café no tempo t.
  • Tamb é a temperatura ambiente, que é 25^circ C.
  • T0 é a temperatura inicial do café, 95^circ C.
  • k é a constante de resfriamento que vamos descobrir.
  • t é o tempo em minutos.

Passo 3

Vamos usar as informações que temos para encontrar a constante k. Sabemos que após 10 minutos, a temperatura do café é 75^circ C. Vamos substituir esses valores na fórmula:
75 = 25 + (95 - 25) cdot e^-k cdot 10
Simplificando:
75 = 25 + 70 cdot e^-10k
Subtraindo 25 de ambos os lados:
50 = 70 cdot e^-10k
Dividindo por 70:
5070 = e^-10k
57 = e^-10k

Passo 4

Para resolver para k, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(57) = -10k
Então:
k = -ln(57)10
Calculando:
ln(57) approx -0,3365
Então:
k approx 0,336510 = 0,03365 , min^-1

Passo 5

Agora que temos k, podemos determinar a temperatura após 20 minutos usando a mesma fórmula:
T(20) = 25 + (95 - 25) cdot e^-0,03365 cdot 20
Simplificando:
T(20) = 25 + 70 cdot e^-0,673
Calculando o expoente:
e^-0,673 approx 0,509
Então:
T(20) = 25 + 70 cdot 0,509
T(20) = 25 + 35,63

Resposta

Depois de 20 minutos, a temperatura do café é aproximadamente 60,63^circ C.

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