Uma xícara de café é colocada em uma sala onde a temperatura ambiente é mantida constante a
. Inicialmente, a temperatura do café é de
. Após 10 minutos, a temperatura do café diminuiu para
. Determine:
(b) A temperatura do café após 20 minutos.
(b) A temperatura do café após 20 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma xícara de café numa sala que tá sempre a
. No começo, o café tá quente, a
. Depois de 10 minutos, ele esfriou até
. O que a gente precisa descobrir é qual a temperatura do café depois de 20 minutos. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula dessa lei é:
Onde:
-
é a temperatura do café no tempo . -
é a temperatura ambiente, que é . -
é a temperatura inicial do café, . -
é a constante de resfriamento que vamos descobrir. -
é o tempo em minutos.
Passo 3
Vamos usar as informações que temos para encontrar a constante
. Sabemos que após 10 minutos, a temperatura do café é
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Subtraindo 25 de ambos os lados:
Dividindo por 70:
Passo 4
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Calculando:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos determinar a temperatura após 20 minutos usando a mesma fórmula:
Simplificando:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
Depois de 20 minutos, a temperatura do café é aproximadamente
.