Azeite de oliva a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=919 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} ; \mu=81 \mathrm{mPa} . \mathrm{s}\right) é bombeado a uma vazão de 27 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1}, em estado estacionário, desde o ponto 1 , situado a uma altura de 3,8 \mathrm{~m} acima do nível em que a bomba está instalada, até o ponto 2 , situado a uma altura de 6,5 \mathrm{~m} acima do nível da bomba. Ambos os reservatórios são abertos para a atmosfera e têm diâmetro muito maior que o diâmetro da tubulação. Na linha de sucção (antes da bomba), o diâmetro interno do tubo é de 102,3 \mathrm{~mm}, enquanto que na linha de descarga (depois da bomba) o diâmetro interno do tubo é de 77,9 \mathrm{~mm}. As perdas de carga ao longo da tubulação são de 5,40 \mathrm{~m}. Determine a altura de projeto mínima que deve ser usada no dimensionamento da bomba.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a altura de projeto mínima da bomba (ou seja, a altura manométrica que a bomba deve entregar) para bombear azeite de oliva entre dois reservatórios abertos. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
  • Densidade: \rho = 919\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu = 81\\ \mathrm{mPa}\cdot\mathrm{s} (ou seja, \mu = 0,081\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}).
  • Vazão volumétrica: Q = 27\\ \mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{h}^{-1}.
  • Elevação do ponto 1 (superfície do reservatório de sucção) em relação ao nível da bomba: z_1 = 3,8\\ \mathrm{m}.
  • Elevação do ponto 2 (superfície do reservatório de recalque) em relação ao nível da bomba: z_2 = 6,5\\ \mathrm{m}.
  • Ambos os reservatórios estão abertos à atmosfera (logo p_1 = p_2 = p_{\text{atm}}).
  • Diâmetro interno da tubulação de sucção: d_1 = 102{,}3\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interno da tubulação de descarga: d_2 = 77{,}9\\ \mathrm{mm}.
  • Perdas de carga ao longo da tubulação (total, suponho soma de sucção+descarga): h_L = 5{,}40\\ \mathrm{m}.
O que precisamos calcular: a altura mínima de projeto da bomba, ou seja, a altura manométrica que a bomba deve fornecer para assegurar o escoamento dado.

Passo 2

Primeiro converto a vazão para unidades SI (metros cúbicos por segundo), pois facilita as contas:
Q = 27\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1} = \frac{27}{3600}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1} = 0{,}0075\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Calculo as áreas das tubulações e as velocidades médias no escoamento — isso serve para avaliar a importância da energia cinética (cabeça de velocidade) e para verificar o regime (Reynolds).
Área da sucção ( d_1 = 102{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}1023\\ \mathrm{m}):
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1023)^2}{4} \approx 0{,}00822\\ \mathrm{m}^2.
Área da descarga ( d_2 = 77{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}0779\\ \mathrm{m}):
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}0779)^2}{4} \approx 0{,}00477\\ \mathrm{m}^2.
Velocidades médias:
V_1 = \frac{Q}{A_1} \approx \frac{0{,}0075}{0{,}00822} \approx 0{,}912\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1},
V_2 = \frac{Q}{A_2} \approx \frac{0{,}0075}{0{,}00477} \approx 1{,}573\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Verifico o regime de escoamento calculando o número de Reynolds, para sabermos se o fluxo é laminar ou turbulento (isso explica por que as perdas podem ter sido calculadas como foram):
A viscosidade cinemática é \nu = \mu/\rho. Como \mu = 0{,}081\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s} e \rho=919\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3},
\nu = \frac{0{,}081}{919} \approx 8{,}82\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Números de Reynolds:
\mathrm{Re}_1 = \frac{V_1 d_1}{\nu} \approx \frac{0{,}912\cdot 0{,}1023}{8{,}82\times 10^{-5}} \approx 1{,}060,
\mathrm{Re}_2 = \frac{V_2 d_2}{\nu} \approx \frac{1{,}573\cdot 0{,}0779}{8{,}82\times 10^{-5}} \approx 1{,}390.
Ambos os valores estão abaixo de 2300, logo o escoamento é laminar. Isso explica por que as perdas podem ser relativamente grandes (óleo viscoso) e por que o professor deu um valor de h_L já pronto.

Passo 5

Agora explico a relação que liga a energia entre os dois reservatórios e a bomba. Podemos usar a forma de Bernoulli entre as superfícies livres 1 e 2 (ambas à pressão atmosférica), incluindo as perdas e a contribuição da bomba. A altura manométrica que a bomba deve fornecer ( H_p, em metros de fluido) é dada por:
H_p = \frac{p_2}{\rho g} - \frac{p_1}{\rho g} + (z_2 - z_1) + h_L,
onde:
  • p_1,p_2 são as pressões nas superfícies 1 e 2 (aqui ambas igual à pressão atmosférica, então o termo de pressão se anula);
  • z_1,z_2 são as elevações das superfícies (em metros);
  • h_L são as perdas totais ao longo da tubulação (em metros);
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g = 9{,}81\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}).
Observação didática: como as superfícies são grandes (reservatórios de grande diâmetro), as velocidades nas superfícies são praticamente zero, então não há termos de energia cinética inicial/final a considerar entre as superfícies — por isso a fórmula acima é adequada e simples.

Passo 6

Calculo a diferença de elevação:
z_2 - z_1 = 6{,}5 - 3{,}8 = 2{,}7\\ \mathrm{m}.
As perdas ao longo da tubulação foram dadas como h_L = 5{,}40\\ \mathrm{m}.
Substituindo na fórmula:
H_p = 0 + 2{,}7 + 5{,}40 = 8{,}10\\ \mathrm{m}.
Isso já nos dá a altura mínima que a bomba precisa fornecer, no sentido manométrico.

Passo 7

Por completude matemática, eu mostrei antes as velocidades médias V_1 e V_2. Se alguém preferir escrever a equação entre trechos de tubulação onde as velocidades são V_1 e V_2, acrescenta-se o termo de diferença de cabeças de velocidade \left(\dfrac{V_2^2}{2g}-\dfrac{V_1^2}{2g}\right). Vamos ver o efeito numérico disso (só para ter noção da ordem de grandeza):
\frac{V_1^2}{2g} \approx \frac{(0{,}912)^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 0{,}0424\\ \mathrm{m},
\frac{V_2^2}{2g} \approx \frac{(1{,}573)^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 0{,}1261\\ \mathrm{m},
diferença:
\frac{V_2^2}{2g}-\frac{V_1^2}{2g} \approx 0{,}0837\\ \mathrm{m}.
Se por algum motivo a curva do fabricante ou um critério do projeto exigir que se some essa diferença explicitamente, o valor numérico aumentaria para aproximadamente 8{,}10 + 0{,}0837 \approx 8{,}18\\ \mathrm{m}. Ou seja, a contribuição das velocidades é muito pequena (da ordem de décimos de metro) frente às perdas totais e à elevação.

Passo 8

Interpretação final e recomendação: a forma correta e comum de calcular a altura de projeto mínima é usar as superfícies livres (pressões iguais) e as perdas totais fornecidas. Assim a bomba precisa entregar, no mínimo, a altura manométrica
H_p = 8{,}10\\ \mathrm{m}.
Se você quiser ser extremamente conservador e incluir a diferença das cabeças de velocidade entre os trechos (o que normalmente não é necessário quando se calcula entre superfícies livres), pode adotar H_p \approx 8{,}18\\ \mathrm{m}. Mas o mínimo requerido, conforme os dados fornecidos, é 8{,}10\\ \mathrm{m}.

Resposta

8{,}10\\ \mathrm{m}

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