Azeite de oliva a
é bombeado a uma vazão de
, em estado estacionário, desde o ponto 1 , situado a uma altura de
acima do nível em que a bomba está instalada, até o ponto 2 , situado a uma altura de
acima do nível da bomba. Ambos os reservatórios são abertos para a atmosfera e têm diâmetro muito maior que o diâmetro da tubulação. Na linha de sucção (antes da bomba), o diâmetro interno do tubo é de
, enquanto que na linha de descarga (depois da bomba) o diâmetro interno do tubo é de
. As perdas de carga ao longo da tubulação são de
. Determine a altura de projeto mínima que deve ser usada no dimensionamento da bomba.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a altura de projeto mínima da bomba (ou seja, a altura manométrica que a bomba deve entregar) para bombear azeite de oliva entre dois reservatórios abertos. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
- Densidade:
. - Viscosidade dinâmica:
(ou seja, ). - Vazão volumétrica:
. - Elevação do ponto 1 (superfície do reservatório de sucção) em relação ao nível da bomba:
. - Elevação do ponto 2 (superfície do reservatório de recalque) em relação ao nível da bomba:
. - Ambos os reservatórios estão abertos à atmosfera (logo
). - Diâmetro interno da tubulação de sucção:
. - Diâmetro interno da tubulação de descarga:
. - Perdas de carga ao longo da tubulação (total, suponho soma de sucção+descarga):
.
O que precisamos calcular: a altura mínima de projeto da bomba, ou seja, a altura manométrica que a bomba deve fornecer para assegurar o escoamento dado.
Passo 2
Primeiro converto a vazão para unidades SI (metros cúbicos por segundo), pois facilita as contas:
Passo 3
Calculo as áreas das tubulações e as velocidades médias no escoamento — isso serve para avaliar a importância da energia cinética (cabeça de velocidade) e para verificar o regime (Reynolds).
Área da sucção (
):
Área da descarga (
):
Velocidades médias:
Passo 4
Verifico o regime de escoamento calculando o número de Reynolds, para sabermos se o fluxo é laminar ou turbulento (isso explica por que as perdas podem ter sido calculadas como foram):
A viscosidade cinemática é
. Como
e
,
Números de Reynolds:
Ambos os valores estão abaixo de
, logo o escoamento é laminar. Isso explica por que as perdas podem ser relativamente grandes (óleo viscoso) e por que o professor deu um valor de
já pronto.
Passo 5
Agora explico a relação que liga a energia entre os dois reservatórios e a bomba. Podemos usar a forma de Bernoulli entre as superfícies livres 1 e 2 (ambas à pressão atmosférica), incluindo as perdas e a contribuição da bomba. A altura manométrica que a bomba deve fornecer (
, em metros de fluido) é dada por:
onde:
-
são as pressões nas superfícies 1 e 2 (aqui ambas igual à pressão atmosférica, então o termo de pressão se anula); -
são as elevações das superfícies (em metros); -
são as perdas totais ao longo da tubulação (em metros); -
é a aceleração da gravidade (vou usar ).
Observação didática: como as superfícies são grandes (reservatórios de grande diâmetro), as velocidades nas superfícies são praticamente zero, então não há termos de energia cinética inicial/final a considerar entre as superfícies — por isso a fórmula acima é adequada e simples.
Passo 6
Calculo a diferença de elevação:
As perdas ao longo da tubulação foram dadas como
.
Substituindo na fórmula:
Isso já nos dá a altura mínima que a bomba precisa fornecer, no sentido manométrico.
Passo 7
Por completude matemática, eu mostrei antes as velocidades médias
e
. Se alguém preferir escrever a equação entre trechos de tubulação onde as velocidades são
e
, acrescenta-se o termo de diferença de cabeças de velocidade
. Vamos ver o efeito numérico disso (só para ter noção da ordem de grandeza):
diferença:
Se por algum motivo a curva do fabricante ou um critério do projeto exigir que se some essa diferença explicitamente, o valor numérico aumentaria para aproximadamente
. Ou seja, a contribuição das velocidades é muito pequena (da ordem de décimos de metro) frente às perdas totais e à elevação.
Passo 8
Interpretação final e recomendação: a forma correta e comum de calcular a altura de projeto mínima é usar as superfícies livres (pressões iguais) e as perdas totais fornecidas. Assim a bomba precisa entregar, no mínimo, a altura manométrica
Se você quiser ser extremamente conservador e incluir a diferença das cabeças de velocidade entre os trechos (o que normalmente não é necessário quando se calcula entre superfícies livres), pode adotar
. Mas o mínimo requerido, conforme os dados fornecidos, é
.