O modo de esterilização de 200 \mathrm{~m}^{3} de um determinado meio fermentativo será em contínuo, por ação de calor úmido. O tempo de residência do meio no tubo de espera, previamente calculado, é de 3,5 \mathrm{~min}. Os valores de \mathrm{t}_{\mathrm{e}}, \rho, \mu e \mathrm{R}_{"e} são conhecidos. Considerando a necessidade de dimensionar o tubo de espera, calcule os valores do diâmetro interno do tubo e o comprimento.
Dados:
\mathrm{t}_{\mathrm{e}}=5 \mathrm{~h} ; \rho=1,06 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mu=6,6.10^{-3} \mathrm{~g} /(\mathrm{cm} . \mathrm{s}) ; \mathrm{R}_{\mathrm{e}}=60.000

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos o tubo de espera (diâmetro interno e comprimento) para esterilização contínua por calor úmido, usando os dados fornecidos. Lista das informações dadas e do que é pedido:
  • Volume total do meio a ser processado: \,200\,\mathrm{m}^3.
  • Tempo disponível para processar esse volume (tempo de operação): \,t_e=5\,\mathrm{h}.
  • Tempo de residência (tempo que cada elemento de fluido deve ficar no tubo): \,t_r=3{,}5\,\mathrm{min} (esse valor foi previamente calculado e é exigência do projeto).
  • Densidade do meio: \,\rho=1{,}06\,\mathrm{g/cm}^3.
  • viscosidade dinâmica: \,\mu=6{,}6\times 10^{-3}\,\mathrm{g/(cm\cdot s)}.
  • Número de Reynolds desejado: \,R_e=60.000.
O que precisamos calcular:
  • Diâmetro interno do tubo: \,D.
  • Comprimento do tubo: \,L.

Passo 2

Vamos transformar todas as quantidades para um sistema de unidades consistente (usarei centímetros e segundos, porque \rho e \mu estão em \mathrm{g/cm^3} e \mathrm{g/(cm\cdot s)}) e calcular a vazão volumétrica \,Q.
  • Converter o volume total e o tempo de operação em vazão média: \text{Volume total} = 200\,\mathrm{m}^3,\quad t_e=5\,\mathrm{h}.
Q = \frac{200\,\mathrm{m}^3}{5\,\mathrm{h}} = 40\,\mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Converter \,Q para \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} usando 1\,\mathrm{m}^3=10^6\,\mathrm{cm}^3 e 1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}:
    Q = 40\cdot 10^6\\ \mathrm{cm}^3 / 3600\\ \mathrm{s} = \frac{40\cdot 10^6}{3600}\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} = 11\,111{,}111\ldots\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
    Para facilitar os cálculos, usarei Q=11\,111{,}111\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} (aprox.).
  • Converter o tempo de residência \,t_r para segundos:
    t_r = 3{,}5\,\mathrm{min} = 3{,}5\cdot 60\,\mathrm{s} = 210\,\mathrm{s}.

Passo 3

Derivação da relação que nos permite calcular o diâmetro \,D usando o número de Reynolds.
  • Definição do número de Reynolds para escoamento em tubo (característico):
    R_e = \frac{\rho\,V\,D}{\mu},
    onde:
    • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{g/cm^3}),
    • V é a velocidade média do fluido no tubo ( \mathrm{cm/s}),
    • D é o diâmetro interno do tubo ( \mathrm{cm}),
    • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{g/(cm\cdot s)}).
  • Relação entre vazão volumétrica Q e velocidade média V para um tubo circular de área \,A:
    A = \frac{\pi D^2}{4},\qquad V = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}.
  • Substituindo V na expressão de R_e:
    R_e = \frac{\rho \left(\dfrac{4Q}{\pi D^2}\right) D}{\mu} = \frac{4\rho Q}{\pi \mu D}.
  • Isolando D temos a fórmula direta para o diâmetro:
    \boxed{\,D = \frac{4\rho Q}{\pi \mu R_e}\,}.
    Observação: essa fórmula vem de manipular as definições básicas; é prática porque nos dá D diretamente a partir de Q,\rho,\mu,R_e.

Passo 4

Calcular numericamente o diâmetro usando a fórmula obtida. Vamos inserir os valores (tudo em unidades consistentes).
  • Valores:
    \rho = 1{,}06\\ \mathrm{g/cm^3},\quad Q = 11\,111{,}111\\ \mathrm{cm^3/s},\quad \mu = 6{,}6\times 10^{-3}\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)},\quad R_e = 60.000.
  • Aplicando a fórmula:
    D = \frac{4\cdot 1{,}06 \cdot 11\,111{,}111}{\pi \cdot 6{,}6\times10^{-3} \cdot 60.000}.
  • Calculemos passo a passo (valores numéricos aproximados):
    \text{numerador} = 4\cdot 1{,}06 \cdot 11\,111{,}111 \approx 47\,111{,}111.
\text{denominador} = \pi \cdot 6{,}6\times10^{-3} \cdot 60.000 = \pi \cdot 396 \approx 1\,243{,}04.
D \approx \frac{47\,111{,}111}{1\,243{,}04}\\ \mathrm{cm} \approx 37{,}9\\ \mathrm{cm}.
  • Convertendo para metros (mais usual em tubulações): D \approx 0{,}379\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora calculamos o comprimento do tubo L. Primeiro determinamos o volume do fluido que deve estar dentro do tubo para garantir o tempo de residência \,t_r.
  • Volume necessário no tubo:
    V_{\text{tubo}} = Q\cdot t_r.
    Já temos Q=11\,111{,}111\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} e t_r=210\,\mathrm{s}:
    V_{\text{tubo}} = 11\,111{,}111\cdot 210 \approx 2\,333\,333{,}310\\ \mathrm{cm}^3.
    Em metros cúbicos:
    V_{\text{tubo}} \approx 2{,}333333\\ \mathrm{m}^3.
  • Área da seção transversal com o diâmetro encontrado ( D=37{,}9\,\mathrm{cm}):
    A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (37{,}9)^2}{4}\\ \mathrm{cm}^2.
    Calculando:
    (37{,}9)^2 \approx 1\,436{,}41,\qquad A \approx \frac{\pi \cdot 1\,436{,}41}{4} \approx 1\,128{,}18\\ \mathrm{cm}^2.
  • Comprimento do tubo:
    L = \frac{V_{\text{tubo}}}{A} = \frac{2\,333\,333{,}31}{1\,128{,}18}\\ \mathrm{cm} \approx 2\,067\\ \mathrm{cm}.
    Convertendo para metros:
    L \approx 20{,}67\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida e comentários práticos (rápida checagem para a prova):
  • Velocidade média no tubo com os resultados:
    V = \frac{4Q}{\pi D^2} \approx \frac{4\cdot 11\,111{,}111}{\pi\cdot(37{,}9)^2}\\ \mathrm{cm/s} \approx 9{,}84\\ \mathrm{cm/s} \approx 0{,}0984\\ \mathrm{m/s}.
    Com essa velocidade, o R_e calculado seria consistente com o valor imposto (prática de checagem rápida).
  • Interpretação: um diâmetro de aproximadamente 38\,\mathrm{cm} e comprimento de 21\,\mathrm{m} é razoável para um tanque de espera com tempo de residência curto e vazão relativamente alta.

Resposta

Diâmetro interno D \approx 37{,}9\\ \mathrm{cm} (ou 0{,}379\\ \mathrm{m}).\nComprimento L \approx 20{,}7\\ \mathrm{m}.

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