Um meio de fermentação contém
bactérias por
vai ser esterilizado em descontínuo a
, de tal modo que a probabilidade de encontrar 1 organismo viável seja de 1 em 1000. O meio contém um nutriente essencial cuja constante de desnaturação a
é
. Qual o maior volume de meio que poderá ser esterilizado sem perder mais do que
do nutriente essencial? Despreze a contribuição dos períodos de aquecimento e resfriamento e considere a constante de morte térmica a
igual a
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos deu:
- Pede o maior volume do meio que pode ser esterilizado sem perder mais do que
do nutriente essencial. - Dados fornecidos:
- Densidade inicial de bactérias:
bactérias por . - Processo a
, desprezar aquecimento e resfriamento. - Probabilidade de encontrar (pelo menos) 1 organismo viável após esterilização:
em (ou seja ). - Constante de desnaturação do nutriente a
: . - Constante de morte térmica a
: .
- Densidade inicial de bactérias:
- Restrições: perda do nutriente
e probabilidade de pelo menos um sobrevivente .
Passo 2
Modelagem da perda do nutriente (cinética de primeira ordem) e cálculo do tempo máximo permitido.
- Para reação de primeira ordem a concentração fracionária do nutriente após tempo
é
onde
é a concentração inicial e
a concentração após
.
- Queremos não perder mais que
, isto é manter pelo menos , então
- Igualando para o tempo máximo
permissível:
Tomando logaritmo natural
- Substituindo
e obtemos
Interpretação: para não perder mais que
do nutriente devemos manter o tempo de esterilização
.
Passo 3
Modelagem da inativação microbiana e cálculo da fração sobrevivente no tempo
.
- A inativação térmica também segue cinética de primeira ordem, então a fração de células que sobrevivem após tempo
é
onde
.
- Usando
calculamos a fração sobrevivente
- Calculando o expoente
, logo
Comentário amigo: esse número é extremamente pequeno — a esterilização é altamente eficaz por minuto — por isso até volumes grandes podem ter probabilidade muito baixa de sobreviventes se o tempo for esse.
Passo 4
Relação entre volume, número inicial de microrganismos e probabilidade de sobrevivência; solução para o volume.
- Número médio inicial de bactérias no volume
(em ) é
- Após esterilização, o número médio de sobreviventes é
- Modelando o número de sobreviventes por uma distribuição de Poisson (válida quando eventos raros e independentes), a probabilidade de NÃO ter nenhum sobrevivente é
, e a probabilidade de ter pelo menos um sobrevivente é
- O enunciado pede que essa probabilidade seja
. Assim
- Logo
- Igualando com
e resolvendo para :
- Substituindo
e :
- Conversões úteis:
-
então . -
então .
-
Passo 5
Verificação rápida e comentário final
- Checagem das ordens de grandeza: devido ao alto
e ao curto tempo máximo imposto pelo nutriente, a fração sobrevivente é absurdamente pequena, o que permite volumes grandes sem exceder a probabilidade alvo de . - Conclusão prática: o maior volume que pode ser tratado em
minutos sem perder mais que do nutriente é da ordem de (centenas de metros cúbicos). Dá para imaginar que, em aplicação real, limitações físicas do equipamento (uniformidade de aquecimento, etc.) tenderiam a reduzir esse valor, mas matematicamente é o resultado.