1. Se um sistema linear tem mais incógnitas do que equações, então o sistema deverá ter uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado afirma que um sistema linear com mais incógnitas do que equações sempre terá infinidade de soluções. O conteúdo envolve o Teorema do Posto de uma matriz e a condição de consistência de um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde A é uma matriz m\times n com n>m.

Passo 2

Pelo Teorema do Posto, se o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} for consistente, então
\dim\bigl\{\mathbf{x}\bigr\} = n - \rank(A).
Como \rank(A)\le m<n, segue n-\rank(A)\ge n-m>0, o que garante que há infinitas soluções sempre que existir ao menos uma.

Passo 3

Porém, a consistência exige \rank(A)=\rank\bigl([A\mid\mathbf{b}]\bigr). Se \rank\bigl([A\mid\mathbf{b}]\bigr)>\rank(A), o sistema é incompatível e não possui solução alguma.

Passo 4

Portanto, embora um sistema com n>m possa ter infinitas soluções quando consistente, ele pode também ser inconsistente e não ter solução nenhuma. Logo, não é certo afirmar que ele “deverá” ter infinitas soluções.

Resposta

Falso.

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