Se
e
são constantes e
, prove:
.
Passo 1
Olha só, o problema pede para provar que a transformada de Laplace da segunda derivada, f’’(t), vira s^2 F(s) - s f(0) - f’(0). A matéria aqui é transformada de Laplace e a gente vai precisar usar sua definição e a técnica de integração por partes.
Passo 2
Então, começamos escrevendo:
Agora aplicamos integração por partes, escolhendo u = e^{-st} e dv = f’’(t),dt.
Passo 3
Com isso, vira:
A gente supõe que f’(t)e^{-st} anula quando t→∞, então o termo de contorno é -f’(0). Isso deixa:
E a integral aí é justamente
.
Passo 4
Da teoria, já sabemos que
Substituindo na expressão acima, obtemos: