Se b e c são constantes e s=sigma+j omega, prove:
.

Passo 1

Olha só, o problema pede para provar que a transformada de Laplace da segunda derivada, f’’(t), vira s^2 F(s) - s f(0) - f’(0). A matéria aqui é transformada de Laplace e a gente vai precisar usar sua definição e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Então, começamos escrevendo:
Lf''(t) = integral0^infty f''(t)e^-st ,dt
Agora aplicamos integração por partes, escolhendo u = e^{-st} e dv = f’’(t),dt.

Passo 3

Com isso, vira:
integral0^infty f''(t)e^-st ,dt = [f'(t)e^-st]0^infty + s integral0^infty f'(t)e^-st ,dt
A gente supõe que f’(t)e^{-st} anula quando t→∞, então o termo de contorno é -f’(0). Isso deixa:
Lf'' = -f'(0) + s integral0^infty f'(t)e^-st ,dt
E a integral aí é justamente Lf'(t).

Passo 4

Da teoria, já sabemos que
Lf'(t) = sF(s) - f(0)
Substituindo na expressão acima, obtemos:
Lf''(t) = -f'(0) + sl(sF(s) - f(0)r) = s^2F(s) - s f(0) - f'(0)

Resposta

Lf''(t) = s^2F(s) - s f(0) - f'(0).

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