Derive e simplifique.
y=sen^2(cos raizsen pi x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos derivar e simplificar a função
$$y = \sin^{2}\bigl(\cos\bigl(\sqrt{\sin(\pi x)}\bigr)\bigr).
$$
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia várias vezes.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias para aplicar a regra da cadeia com clareza:
u = cosl(raizsin(pi x)r),
y = sin^2(u)
Começamos derivando em relação a u.

Passo 3

Usando a derivada de sin^2(u) temos:
dydu = 2sin(u)cos(u)

Passo 4

Agora derivamos u = cos(w), onde
w = raizsin(pi x)
A derivada de cos(w) é
dudw = -sin(w)

Passo 5

Em seguida derivamos w = raizv, com v = sin(pi x). A derivada de raizv é
dwdv = 12raizv

Passo 6

Finalmente derivamos v = sin(pi x). Por regra da cadeia:
dvdx = cos(pi x) cdot pi

Passo 7

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dw} \cdot \frac{dw}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}.
Substituindo cada pedacinho:

Passo 8

Substituindo e simplificando os fatores 2, obtemos:
y' = 2sin(u)cos(u) times l(-sin(w)r) times 12raizv times l(picos(pi x)r)
Cancelando o 2 e reescrevendo u, w, v:

Passo 9

Chegamos ao resultado final:
y' = -picos(pi x),sinl(cos(raizsin(pi x))r),sinl(raizsin(pi x)r)raizsin(pi x)

Resposta

-\frac{\pi\cos(\pi x),\sin\bigl(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})\bigr),\sin\bigl(\sqrt{\sin(\pi x)}\bigr)}{\sqrt{\sin(\pi x)}}

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