Derive e simplifique.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos derivar e simplificar a função
$$y = \sin^{2}\bigl(\cos\bigl(\sqrt{\sin(\pi x)}\bigr)\bigr).
$$
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia várias vezes.
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia várias vezes.
Passo 2
Definimos as funções intermediárias para aplicar a regra da cadeia com clareza:
Começamos derivando em relação a
.
Passo 3
Usando a derivada de
temos:
Passo 4
Agora derivamos
, onde
A derivada de
é
Passo 5
Em seguida derivamos
, com
. A derivada de
é
Passo 6
Finalmente derivamos
. Por regra da cadeia:
Passo 7
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dw} \cdot \frac{dw}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}.
Substituindo cada pedacinho:
y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dw} \cdot \frac{dw}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}.
Substituindo cada pedacinho:
Passo 8
Substituindo e simplificando os fatores 2, obtemos:
Cancelando o
e reescrevendo
:
Passo 9
Chegamos ao resultado final:
Resposta
-\frac{\pi\cos(\pi x),\sin\bigl(\cos(\sqrt{\sin(\pi x)})\bigr),\sin\bigl(\sqrt{\sin(\pi x)}\bigr)}{\sqrt{\sin(\pi x)}}