Se
e
são matrizes invertíveis de mesma ordem, determine a matriz
de maneira que
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são matrizes invertíveis da mesma ordem e pede para determinar a matriz
que satisfaz
Informações relevantes:
-
, , são todas invertíveis (portanto possuem inversa). - As matrizes têm mesma ordem, logo as multiplicações escritas fazem sentido.
- O objetivo é isolar
e escrever em função de , e .
Passo 2
Usar a associatividade da multiplicação de matrizes para reescrever o membro esquerdo de forma mais conveniente. A multiplicação de matrizes é associativa, então
Isso transforma a equação original em
Passo 3
Justificar que
é invertível e encontrar sua inversa. Se
e
são invertíveis, então o produto
também é invertível. A fórmula geral para a inversa de um produto é
. Aplicando com
e
obtemos
Portanto a inversa de
é
.
Passo 4
Multiplicar a equação
à esquerda por
. Como multiplicar uma matriz pela sua inversa dá a matriz identidade
, isso isola
:
O lado esquerdo simplifica para
. Logo
Passo 5
Substituir a expressão encontrada para
(Passo 3) na fórmula de
:
Podemos juntar os fatores se quisermos escrever tudo multiplicado:
Observação: a ordem dos fatores é importante — em geral matrizes não comutam, então não reordenar os termos.
Passo 6
Verificação rápida por substituição para ganhar confiança: calcular
usando
.
Primeiro
Primeiro
Então
o que confirma que a expressão encontrada para
satisfaz a equação original.