Se A, B e C são matrizes invertíveis de mesma ordem, determine a matriz X de maneira que A\left(B^{-1} X\right)=C^{-1} A.

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são matrizes invertíveis da mesma ordem e pede para determinar a matriz X que satisfaz
A\bigl(B^{-1} X\bigr)=C^{-1} A.
Informações relevantes:
  • A, B, C são todas invertíveis (portanto possuem inversa).
  • As matrizes têm mesma ordem, logo as multiplicações escritas fazem sentido.
  • O objetivo é isolar X e escrever X em função de A, B e C.

Passo 2

Usar a associatividade da multiplicação de matrizes para reescrever o membro esquerdo de forma mais conveniente. A multiplicação de matrizes é associativa, então
A\bigl(B^{-1} X\bigr) = (A B^{-1}) X.
Isso transforma a equação original em
(A B^{-1}) X = C^{-1} A.

Passo 3

Justificar que (A B^{-1}) é invertível e encontrar sua inversa. Se A e B são invertíveis, então o produto A B^{-1} também é invertível. A fórmula geral para a inversa de um produto é (UV)^{-1}=V^{-1}U^{-1}. Aplicando com U=A e V=B^{-1} obtemos
\bigl(A B^{-1}\bigr)^{-1} = \bigl(B^{-1}\bigr)^{-1} A^{-1} = B A^{-1}.
Portanto a inversa de A B^{-1} é B A^{-1}.

Passo 4

Multiplicar a equação (A B^{-1}) X = C^{-1} A à esquerda por \bigl(A B^{-1}\bigr)^{-1}. Como multiplicar uma matriz pela sua inversa dá a matriz identidade I, isso isola X:
\bigl(A B^{-1}\bigr)^{-1} (A B^{-1}) X = \bigl(A B^{-1}\bigr)^{-1} (C^{-1} A).
O lado esquerdo simplifica para I X = X. Logo
X = \bigl(A B^{-1}\bigr)^{-1} (C^{-1} A).

Passo 5

Substituir a expressão encontrada para \bigl(A B^{-1}\bigr)^{-1} (Passo 3) na fórmula de X:
X = B A^{-1} (C^{-1} A).
Podemos juntar os fatores se quisermos escrever tudo multiplicado:
X = B A^{-1} C^{-1} A.
Observação: a ordem dos fatores é importante — em geral matrizes não comutam, então não reordenar os termos.

Passo 6

Verificação rápida por substituição para ganhar confiança: calcular A(B^{-1}X) usando X = B A^{-1} C^{-1} A.
Primeiro
B^{-1} X = B^{-1}\bigl(B A^{-1} C^{-1} A\bigr) = (B^{-1}B) A^{-1} C^{-1} A = I\, A^{-1} C^{-1} A = A^{-1} C^{-1} A.
Então
A\bigl(B^{-1} X\bigr) = A\bigl(A^{-1} C^{-1} A\bigr) = (A A^{-1}) C^{-1} A = I\, C^{-1} A = C^{-1} A,
o que confirma que a expressão encontrada para X satisfaz a equação original.

Resposta

X = B A^{-1} C^{-1} A

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