Se
e se
, prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas reais de ordem , isto é . - Está garantido que
e comutam: .
O que se pede provar é a igualdade
Passo 2
Vou lembrar algumas propriedades básicas de multiplicação de matrizes que vou usar (tudo válido para matrizes quadradas do mesmo tamanho):
- Notação:
significa . - Distributividade à esquerda e à direita:
para quaisquer matrizes compatíveis. - Associatividade da multiplicação:
- Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa:
pode ser diferente de . No nosso problema, porém, foi dado que , então podemos trocar e quando aparecem multiplicadas.
Passo 3
Vamos expandir a expressão
usando distributividade passo a passo. Primeiro aplico a distributividade por linhas:
Agora distribuo novamente em cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 4
Reescrevendo o resultado do passo anterior e agrupando os termos:
Agora uso a hipótese essencial do enunciado,
. Substituindo
por
no termo correspondente, os dois termos do meio se anulam:
Portanto sobra
Passo 5
Resumo intuitivo e dica para a prova: a identidade é exatamente a mesma do produto de soma e diferença para números (
), mas para matrizes precisamos da hipótese
porque, sem ela, os termos cruzados não se cancelam. Na prova escreva a expansão por distributividade e, em seguida, use
para cancelar os termos intermediários.