Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) e se A B=B A, prove que:
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas reais de ordem n, isto é A,B\in M_{n}(\mathbb{R}).
  • Está garantido que A e B comutam: A B = B A.
O que se pede provar é a igualdade
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 2

Vou lembrar algumas propriedades básicas de multiplicação de matrizes que vou usar (tudo válido para matrizes quadradas do mesmo tamanho):
  • Notação: A^{2} significa A\cdot A.
  • Distributividade à esquerda e à direita: X(Y+Z)=XY+XZ,\qquad (X+Y)Z=XZ+YZpara quaisquer matrizes X,Y,Z compatíveis.
  • Associatividade da multiplicação: (XY)Z = X(YZ).
  • Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa: XY pode ser diferente de YX. No nosso problema, porém, foi dado que AB=BA, então podemos trocar A e B quando aparecem multiplicadas.

Passo 3

Vamos expandir a expressão (A-B)(A+B) usando distributividade passo a passo. Primeiro aplico a distributividade por linhas:
(A-B)(A+B)=A(A+B)-B(A+B).
Agora distribuo novamente em cada termo:
A(A+B)=AA+AB=A^{2}+AB,
B(A+B)=BA+BB=BA+B^{2}.
Substituindo de volta:
(A-B)(A+B)=(A^{2}+AB)-(BA+B^{2}).

Passo 4

Reescrevendo o resultado do passo anterior e agrupando os termos:
(A-B)(A+B)=A^{2}+AB-BA-B^{2}.
Agora uso a hipótese essencial do enunciado, AB=BA. Substituindo BA por AB no termo correspondente, os dois termos do meio se anulam:
AB-BA = AB-AB = 0.
Portanto sobra
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 5

Resumo intuitivo e dica para a prova: a identidade é exatamente a mesma do produto de soma e diferença para números ( (x-y)(x+y)=x^2-y^2), mas para matrizes precisamos da hipótese AB=BA porque, sem ela, os termos cruzados não se cancelam. Na prova escreva a expansão por distributividade e, em seguida, use AB=BA para cancelar os termos intermediários.

Resposta

(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}

Exercícios relacionados