Mostre que as matrizes da forma \left[\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{y} \\\ y & 1\end{array}\right] onde y \in \mathbb{R}, y \neq 0, verificam a equação X^{2}-2 X=0.

Passo 1

O enunciado dá uma família de matrizes parametrizadas por y\in\mathbb{R}, y\neq0, e pede para mostrar que cada matriz dessa família satisfaz a equação matricial X^{2}-2X=0.
Informações dadas:
  • A matriz é
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y} \\[6pt] y & 1\end{pmatrix},
com y\in\mathbb{R} e y\neq0.
O que é pedido:
  • Mostrar que, para todo y\neq0, a matriz X verifica
X^{2}-2X=0,
onde 0 é a matriz zero 2\times2.]

Passo 2

Relembrando a regra de multiplicação de matrizes que usarei: se A e B são matrizes 2\times2, então a entrada (i,j) do produto AB é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}B_{kj}.
Ou seja, cada entrada do produto é a soma dos produtos das entradas correspondentes da linha i de A com a coluna j de B. Isto é tudo o que precisamos para calcular X^{2}=X\cdot X.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente X^{2}. Escrevendo X novamente:
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y}\\[6pt] y & 1\end{pmatrix}.
Usando a fórmula da multiplicação, calculamos cada entrada de X^{2}=X\cdot X.
Entrada (1,1):
(X^{2})_{11}=1\cdot 1 + \dfrac{1}{y}\cdot y = 1 + 1 = 2.
Entrada (1,2):
(X^{2})_{12}=1\cdot \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y}\cdot 1 = \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{y}.
Entrada (2,1):
(X^{2})_{21}=y\cdot 1 + 1\cdot y = y + y = 2y.
Entrada (2,2):
(X^{2})_{22}=y\cdot \dfrac{1}{y} + 1\cdot 1 = 1 + 1 = 2.
Portanto
X^{2}=\begin{pmatrix}2 & \dfrac{2}{y}\\[6pt] 2y & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos 2X. A multiplicação de uma matriz por um escalar 2 é feita multiplicando-se todas as entradas da matriz por 2. Assim,
2X=2\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y}\\[6pt] y & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & \dfrac{2}{y}\\[6pt] 2y & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparando X^{2} e 2X obtidos nos passos anteriores, vemos que são exatamente iguais:
X^{2}=\begin{pmatrix}2 & \dfrac{2}{y}\\[6pt] 2y & 2\end{pmatrix}=2X.
Subtraindo membro a membro, obtemos
X^{2}-2X=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é a matriz zero 2\times2.]

Passo 6

Interpretação final curta e encorajadora: a conta mostrou que, para todo y\neq0, as entradas de X^{2} coincidem com as de 2X, portanto a equação matricial X^{2}-2X=0 é satisfeita por todas essas matrizes. Boa — problema resolvido passo a passo!

Resposta

X^{2}-2X=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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