Mostre que as matrizes da forma \left[\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{y} \\\ y & 1\end{array}\right] onde y \in \mathbb{R}, y \neq 0, verificam a equação X^{2}-2 X=0.
Passo 1
O enunciado dá uma família de matrizes parametrizadas por y\in\mathbb{R}, y\neq0, e pede para mostrar que cada matriz dessa família satisfaz a equação matricial X^{2}-2X=0.
Informações dadas:
A matriz é
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y} \\[6pt] y & 1\end{pmatrix},
com y\in\mathbb{R} e y\neq0.
O que é pedido:
Mostrar que, para todo y\neq0, a matriz X verifica
X^{2}-2X=0,
onde 0 é a matriz zero 2\times2.]
Passo 2
Relembrando a regra de multiplicação de matrizes que usarei: se A e B são matrizes 2\times2, então a entrada (i,j) do produto AB é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}B_{kj}.
Ou seja, cada entrada do produto é a soma dos produtos das entradas correspondentes da linha i de A com a coluna j de B. Isto é tudo o que precisamos para calcular X^{2}=X\cdot X.
Passo 3
Vamos calcular explicitamente X^{2}. Escrevendo X novamente:
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y}\\[6pt] y & 1\end{pmatrix}.
Usando a fórmula da multiplicação, calculamos cada entrada de X^{2}=X\cdot X.
Interpretação final curta e encorajadora: a conta mostrou que, para todo y\neq0, as entradas de X^{2} coincidem com as de 2X, portanto a equação matricial X^{2}-2X=0 é satisfeita por todas essas matrizes. Boa — problema resolvido passo a passo!