(b) Para o caso em que k<0, mostre que
\lim _{t \rightarrow \infty} T(t)=T_{m}

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos:
  • Queremos mostrar que, quando k<0, vale \displaystyle \lim_{t\to\infty} T(t)=T_{m}.
  • Admitimos que a função T(t) satisfaz a equação diferencial usual do resfriamento/aquecimento do tipo
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_{m}\bigr),
onde k é constante (a hipótese do enunciado menciona k<0) e T_{m} é uma temperatura constante de equilíbrio.
  • Chamamos de T_{0} o valor inicial T(0)=T_{0} (um número finito qualquer).
    O objetivo é partir dessa equação e provar passo a passo que T(t) tende para T_{m} quando t\to\infty, para qualquer T_{0}.

Passo 2

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (explicando cada etapa).
Partimos de
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_{m}\bigr).
Passo 1 da separação: colocar todos os termos com T do lado esquerdo e t do lado direito:
\frac{dT}{T-T_{m}}=k\,dt.
Explicação da integração: integra-se ambos os lados em relação às respetivas variáveis. A integral de 1/(T-T_{m}) em T é \ln|T-T_{m}| (porque a derivada de \ln|u| é 1/u para u\neq0). Integramos:
\int \frac{dT}{T-T_{m}}=\int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|T-T_{m}\bigr|=kt+C,
onde C é uma constante de integração (um número real que vamos determinar usando a condição inicial).
Agora exponenciamos para eliminar o logaritmo (explicar o porquê): a exponenciação é a operação inversa do logaritmo natural, logo
\bigl|T-T_{m}\bigr|=e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}.
Chamando A=e^{C} (uma constante positiva), obtemos
\bigl|T-T_{m}\bigr|=A e^{kt}.
Como T-T_{m} pode ser positivo ou negativo, podemos incorporar o sinal em A e escrever a constante genérica C_1 (real) tal que
T-T_{m}=C_{1}e^{kt}.
Agora usamos a condição inicial T(0)=T_{0} para encontrar C_{1}:
T(0)-T_{m}=C_{1}e^{k\cdot 0}=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=T_{0}-T_{m}.
Portanto a solução geral com a condição inicial é
T(t)=T_{m}+\bigl(T_{0}-T_{m}\bigr)e^{kt}.
Explicação curta do resultado: a solução diz que a diferença entre T(t) e T_{m} é simplesmente a diferença inicial multiplicada por um fator exponencial e^{kt}.

Passo 3

Analisar o comportamento do termo exponencial quando k<0.
Queremos estudar \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{kt} quando k<0. Escrevemos k=-a com a>0. Então
e^{kt}=e^{-a t}.
Propriedade fundamental das exponenciais: quando a variável do expoente tende a +\infty com sinal negativo multiplicando (aqui -a t\to -\infty quando t\to\infty), a exponencial tende a zero. Em termos simples, \displaystyle \lim_{s\to\infty} e^{-s}=0. Aplicando com s=a t (notando que s\to\infty quando t\to\infty), obtemos
\lim_{t\to\infty} e^{kt}=\lim_{t\to\infty} e^{-a t}=0.
Um argumento rigoroso e breve: para qualquer \varepsilon>0 existe T tal que, para t>T, a t>\ln(1/\varepsilon), logo e^{-a t}<\varepsilon. Isso mostra que a exponencial vai a zero.

Passo 4

Concluir o limite de T(t) usando a expressão da solução.
Da Passo 2 temos
T(t)=T_{m}+\bigl(T_{0}-T_{m}\bigr)e^{kt}.
Tomando limite quando t\to\infty e usando o resultado do Passo 3 ( \lim_{t\to\infty} e^{kt}=0) obtemos
\lim_{t\to\infty} T(t)=T_{m}+\bigl(T_{0}-T_{m}\bigr)\cdot 0 = T_{m}.
Interpretação física/intuída (curta e amigável): se k<0 o fator exponencial decai e a temperatura T(t) relaxa exponencialmente para a temperatura de equilíbrio T_{m}, independentemente do valor inicial T_{0}. Se T_{0}>T_{m} ela desce em direção a T_{m}; se T_{0}<T_{m} ela sobe — sempre se aproximando de T_{m}.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty} T(t)=T_{m}

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