(Movimentos oscilatórios) Se uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob a ação de uma força elástica
e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por
, então, combinando essas forças com a Lei de Newton
, conclui-se que a equação que rege o movimento dessa partícula é
ou seja,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes que descreve o movimento amortecido:
Informações e o que é pedido (explícito ou implícito):
- São dadas as constantes
e (assume-se e ). - A tarefa é obter a solução geral
dessa equação e entender os tipos de comportamento (amortecimento fraco, crítico e forte). - Também é útil saber como aplicar condições iniciais
e para encontrar as constantes da solução.
Nada mais foi fornecido; portanto vamos encontrar a solução geral e explicar cada caso.
Passo 2
Transformar o problema em algo mecânico: escrever a equação característica associada.
- Para resolver uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
, onde é número complexo em geral. - Substituindo
em
obtemos a equação algébrica chamada equação característica:
Esta é uma equação quadrática em
. Resolver esta quadrática é o passo chave.
Passo 3
Resolver a equação característica usando a fórmula quadrática.
- A fórmula para raízes de
é . - Aqui
, , . Então
- Definimos o discriminante
. O tipo das raízes (e portanto da solução) depende do sinal de .
Passo 4
Classificar os três casos possíveis e escrever a forma geral da solução em cada caso.
Caso A: amortecimento fraco (subamortecido), quando
(ou seja
).
- As raízes são complexas conjugadas:
- Para raízes complexas
a solução real geral é
- Aplicando isso aqui,
- Interpretação física e parámetro:
é a frequência angular de oscilação amortecida; o fator dá o decaimento exponencial da amplitude (envelope).
Caso B: amortecimento crítico, quando
(ou seja
).
- As raízes coincidem:
. - Para raiz dupla real
a solução geral é
- Portanto
- Este é o caso limite entre oscilações e decaimento monotônico; não há oscilações, e a solução decai tão rapidamente quanto possível sem oscilar.
Caso C: amortecimento forte (sobreamortecido), quando
(ou seja
).
- As raízes são reais e distintas:
- Ambas as raízes são negativas (porque
), portanto
- Neste caso o movimento é monotônico (sem oscilações) e decai como soma de duas exponenciais.
Passo 5
Mostrar como determinar as constantes a partir de condições iniciais (procedimento prático que usa somente contas à mão).
Vamos denotar
e
. Para cada caso:
- Caso A (subamortecido): escrever
Aplicar
:
Derivar para obter velocidade:
Em
:
Como
, obtemos
Portanto a solução com condições iniciais é
- Caso B (crítico): escrever
Em
:
Derivando:
Em
:
Portanto
e
- Caso C (sobreamortecido): escrever
Em
:
Derivando:
em
:
Resolver o sistema linear para
:
isto leva às fórmulas (fazer eliminação):
Passo 6
Explicar de forma prática como reconhecer e usar cada solução numa prova (dicas rápidas, passo a passo mental):
- Primeiro calcule
. - Se negativo: use forma oscilatória amortecida com
. - Se zero: use forma crítica
. - Se positivo: use soma de exponenciais com as raízes
.
- Se negativo: use forma oscilatória amortecida com
- Para aplicar condições iniciais, sempre calcule
e nas formas gerais para obter duas equações lineares para as constantes. - Para encontrar o período observado em caso subamortecido: o período das oscilações é
- Ótima heurística:
controla a taxa de decaimento do envelope ; é a frequência do oscilador sem amortecimento ( ). Quanto maior comparado a , mais forte o amortecimento.
Passo 7
Mostre brevemente energia e envelope (intuitivo, sem cálculos pesados):
- No caso subamortecido a amplitude máxima decai como
. Assim picos sucessivos diminuem exponencialmente. - A energia (proporcional a
) decai aproximadamente como para amortecimento pequeno — útil para estimar a perda de energia.
Passo 8
Resumo final — copiar as formas usuais prontas para decorar e aplicar rapidamente em prova:
- Subamortecido (
):
- Crítico (
):
- Sobreamortecido (
):
onde
Resposta
Subamortecido (
):
Crítico (
):
Sobreamortecido (
, com
):