(Movimentos oscilatórios) Se uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo O x sob a ação de uma força elástica F_{E}(x)=-k x e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por F_{A}(x)=-c \frac{d x}{d t}, então, combinando essas forças com a Lei de Newton F(x)=m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}, conclui-se que a equação que rege o movimento dessa partícula é
F(x)=F_{E}(x)+F_{A}(x),
ou seja,
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2 \gamma \frac{d x}{d t}+\omega^{2} x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes que descreve o movimento amortecido:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega^{2} x = 0.
Informações e o que é pedido (explícito ou implícito):
  • São dadas as constantes \gamma e \omega (assume-se \gamma\ge 0 e \omega>0).
  • A tarefa é obter a solução geral x(t) dessa equação e entender os tipos de comportamento (amortecimento fraco, crítico e forte).
  • Também é útil saber como aplicar condições iniciais x(0)=x_0 e \dot x(0)=v_0 para encontrar as constantes da solução.
    Nada mais foi fornecido; portanto vamos encontrar a solução geral e explicar cada caso.

Passo 2

Transformar o problema em algo mecânico: escrever a equação característica associada.
  • Para resolver uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo x(t)=e^{rt}, onde r é número complexo em geral.
  • Substituindo x(t)=e^{rt} em
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega^{2} x = 0
obtemos a equação algébrica chamada equação característica:
r^{2} + 2\gamma r + \omega^{2} = 0.
Esta é uma equação quadrática em r. Resolver esta quadrática é o passo chave.

Passo 3

Resolver a equação característica usando a fórmula quadrática.
  • A fórmula para raízes de ar^{2}+br+c=0 é r = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
  • Aqui a=1, b=2\gamma, c=\omega^{2}. Então
r = \frac{-2\gamma \pm \sqrt{(2\gamma)^{2} - 4\omega^{2}}}{2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}}.
  • Definimos o discriminante \Delta = \gamma^{2}-\omega^{2}. O tipo das raízes (e portanto da solução) depende do sinal de \Delta.

Passo 4

Classificar os três casos possíveis e escrever a forma geral da solução em cada caso.
Caso A: amortecimento fraco (subamortecido), quando \gamma^{2}<\omega^{2} (ou seja \gamma<\omega).
  • As raízes são complexas conjugadas:
r = -\gamma \pm i\omega_{d},\qquad \omega_{d} \equiv \sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}>0.
  • Para raízes complexas a\pm ib a solução real geral é
x(t)=e^{at}\big(C_{1}\cos(bt)+C_{2}\sin(bt)\big).
  • Aplicando isso aqui,
x(t)=e^{-\gamma t}\big(C_{1}\cos(\omega_{d}t)+C_{2}\sin(\omega_{d}t)\big).
  • Interpretação física e parámetro: \omega_{d} é a frequência angular de oscilação amortecida; o fator e^{-\gamma t} dá o decaimento exponencial da amplitude (envelope).
Caso B: amortecimento crítico, quando \gamma^{2}=\omega^{2} (ou seja \gamma=\omega).
  • As raízes coincidem: r_{1}=r_{2}=-\gamma.
  • Para raiz dupla real r a solução geral é
x(t)=(A+Bt)e^{rt}.
  • Portanto
x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.
  • Este é o caso limite entre oscilações e decaimento monotônico; não há oscilações, e a solução decai tão rapidamente quanto possível sem oscilar.
Caso C: amortecimento forte (sobreamortecido), quando \gamma^{2}>\omega^{2} (ou seja \gamma>\omega).
  • As raízes são reais e distintas:
r_{1}=-\gamma + \sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}},\qquad r_{2}=-\gamma - \sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}}.
  • Ambas as raízes são negativas (porque -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}}<0), portanto
x(t)=C e^{r_{1}t}+D e^{r_{2}t}.
  • Neste caso o movimento é monotônico (sem oscilações) e decai como soma de duas exponenciais.

Passo 5

Mostrar como determinar as constantes a partir de condições iniciais (procedimento prático que usa somente contas à mão).
Vamos denotar x(0)=x_{0} e \dot x(0)=v_{0}. Para cada caso:
  • Caso A (subamortecido): escrever
x(t)=e^{-\gamma t}\big(C_{1}\cos(\omega_{d}t)+C_{2}\sin(\omega_{d}t)\big).
Aplicar t=0:
x(0)=x_{0}=C_{1}.
Derivar para obter velocidade:
\dot x(t)=e^{-\gamma t}\big(-\gamma(C_{1}\cos\omega_{d}t+C_{2}\sin\omega_{d}t)-\omega_{d}C_{1}\sin\omega_{d}t+\omega_{d}C_{2}\cos\omega_{d}t\big).
Em t=0:
v_{0}=\dot x(0)=-\gamma C_{1}+\omega_{d}C_{2}.
Como C_{1}=x_{0}, obtemos
C_{2}=\frac{v_{0}+\gamma x_{0}}{\omega_{d}}.
Portanto a solução com condições iniciais é
x(t)=e^{-\gamma t}\left(x_{0}\cos(\omega_{d}t)+\frac{v_{0}+\gamma x_{0}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)\right).
  • Caso B (crítico): escrever
x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.
Em t=0:
x_{0}=A.
Derivando:
\dot x(t)=(B-\gamma(A+Bt))e^{-\gamma t}.
Em t=0:
v_{0}=B-\gamma A.
Portanto
B=v_{0}+\gamma x_{0},
e
x(t)=\big(x_{0}+(v_{0}+\gamma x_{0})t\big)e^{-\gamma t}.
  • Caso C (sobreamortecido): escrever
x(t)=C e^{r_{1}t}+D e^{r_{2}t}.
Em t=0:
x_{0}=C+D.
Derivando:
\dot x(t)=C r_{1} e^{r_{1}t}+D r_{2} e^{r_{2}t},
em t=0:
v_{0}=C r_{1}+D r_{2}.
Resolver o sistema linear para C,D:
\begin{cases} C+D=x_{0},\\[4pt] C r_{1}+D r_{2}=v_{0}, \end{cases}
isto leva às fórmulas (fazer eliminação):
C=\frac{v_{0}-r_{2}x_{0}}{r_{1}-r_{2}},\qquad D=\frac{r_{1}x_{0}-v_{0}}{r_{1}-r_{2}}.]

Passo 6

Explicar de forma prática como reconhecer e usar cada solução numa prova (dicas rápidas, passo a passo mental):
  • Primeiro calcule \gamma^{2}-\omega^{2}.
    • Se negativo: use forma oscilatória amortecida com \omega_{d}=\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}.
    • Se zero: use forma crítica x(t)=(x_{0}+(v_{0}+\gamma x_{0})t)e^{-\gamma t}.
    • Se positivo: use soma de exponenciais com as raízes r_{1},r_{2}.
  • Para aplicar condições iniciais, sempre calcule x(0) e \dot x(0) nas formas gerais para obter duas equações lineares para as constantes.
  • Para encontrar o período observado em caso subamortecido: o período das oscilações é
T=\frac{2\pi}{\omega_{d}}.
  • Ótima heurística: \gamma controla a taxa de decaimento do envelope e^{-\gamma t}; \omega é a frequência do oscilador sem amortecimento ( \omega=\sqrt{k/m}). Quanto maior \gamma comparado a \omega, mais forte o amortecimento.

Passo 7

Mostre brevemente energia e envelope (intuitivo, sem cálculos pesados):
  • No caso subamortecido a amplitude máxima decai como e^{-\gamma t}. Assim picos sucessivos diminuem exponencialmente.
  • A energia (proporcional a x^{2}+\dot x^{2}) decai aproximadamente como e^{-2\gamma t} para amortecimento pequeno — útil para estimar a perda de energia.

Passo 8

Resumo final — copiar as formas usuais prontas para decorar e aplicar rapidamente em prova:
  • Subamortecido ( \gamma<\omega):
\text{com }\omega_{d}=\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}:\qquad x(t)=e^{-\gamma t}\left(x_{0}\cos(\omega_{d}t)+\frac{v_{0}+\gamma x_{0}}{\omega_{d}}\sin(\omega_{d}t)\right).
  • Crítico ( \gamma=\omega):
x(t)=\big(x_{0}+(v_{0}+\gamma x_{0})t\big)e^{-\gamma t}.
  • Sobreamortecido ( \gamma>\omega):
\text{com }r_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}}:\qquad x(t)=C e^{r_{1}t}+D e^{r_{2}t},
onde
C=\frac{v_{0}-r_{2}x_{0}}{r_{1}-r_{2}},\qquad D=\frac{r_{1}x_{0}-v_{0}}{r_{1}-r_{2}}.

Resposta

Subamortecido ( \gamma<\omega):
x(t)=e^{-\gamma t}\left(x_{0}\cos\!\big(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}\,t\big)+\frac{v_{0}+\gamma x_{0}}{\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}}\sin\!\big(\sqrt{\omega^{2}-\gamma^{2}}\,t\big)\right).
Crítico ( \gamma=\omega):
x(t)=\big(x_{0}+(v_{0}+\gamma x_{0})t\big)e^{-\gamma t}.
Sobreamortecido ( \gamma>\omega, com r_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^{2}-\omega^{2}}):
x(t)=C e^{r_{1}t}+D e^{r_{2}t},\quad C=\frac{v_{0}-r_{2}x_{0}}{r_{1}-r_{2}},\; D=\frac{r_{1}x_{0}-v_{0}}{r_{1}-r_{2}}.

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