Para cada uma das funções abaixo determine os valores de Vp ou Ip, f, \omega, T, fase inicial e esboce os gráficos de tensão e corrente em função do tempo e da posição angular ( \mathrm{v} \times \mathrm{t}; v x \omega \mathrm{t}; i x t ; i x \omega \mathrm{t} ).
\mathrm{i}(\mathrm{t})=0,4 \operatorname{sen}(250 \mathrm{t}) \mathrm{A}

Passo 1

O enunciado fornece a corrente no domínio do tempo e pede várias grandezas e esboços. Dados e pedidos, extraídos do enunciado:
  • Dado: \mathrm{i}(t)=0,4\\ \operatorname{sen}(250\,t)\\ \mathrm{A}.
  • Pedidos:
    • valor de I_p (ou V_p se fosse tensão);
    • frequência f;
    • pulsação \omega;
    • período T;
    • fase inicial;
    • esboçar os gráficos \mathrm{i}\times t, \mathrm{i}\times \omega t e, se aplicável, tensão \mathrm{v}\times t e \mathrm{v}\times \omega t.
Observação importante: o enunciado só deu a corrente \mathrm{i}(t); nenhuma tensão foi fornecida. Portanto não há como determinar nem esboçar \mathrm{v}(t) sem informação extra (por exemplo, impedância). Isso será explicado adiante.

Passo 2

Identificar a forma padrão e o parâmetro amplitude (pico).
  • Forma geral usada em AC é \mathrm{i}(t)=I_p\\ \operatorname{sen}(\omega t+\varphi), onde:
    • I_p é a amplitude de pico da corrente (valor máximo em módulo, em ampères);
    • \omega é a pulsação angular (em \mathrm{rad/s});
    • \varphi é a fase inicial (em radianos).
  • Comparando com \mathrm{i}(t)=0,4\\ \operatorname{sen}(250\,t) segue que:
    • I_p=0,4\\ \mathrm{A}.
Explicação didática curta: o coeficiente multiplicando a função seno é o pico (a onda varia entre -I_p e +I_p).

Passo 3

Determinar a pulsação \omega.
  • Na expressão \operatorname{sen}(250\,t) a quantidade multiplicando t é a pulsação \omega. Logo:
    • \omega=250\\ \mathrm{rad/s}.
Pequena aula: \omega mede quantos radianos a fase da senoide percorre por segundo. Uma volta completa corresponde a 2\pi radianos.

Passo 4

Calcular a frequência f a partir de \omega.
  • Relação entre \omega e f:
\omega = 2\pi f.
  • Isolando f:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo \omega=250:
f=\dfrac{250}{2\pi}\approx 39,79\\ \mathrm{Hz}.
Explicação: f é o número de ciclos por segundo; dividir \omega por 2\pi transforma rad/s em ciclos/s (Hz).

Passo 5

Calcular o período T.
  • Relação entre T e f: T=\dfrac{1}{f}.
  • Usando f anterior:
T=\dfrac{1}{39,79}\approx 0,02513\\ \mathrm{s}=25,13\\ \mathrm{ms}.
  • Outra forma direta: T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{250}\approx 0,02513\\ \mathrm{s}.
Explicação: período é o tempo que a onda leva para completar um ciclo.

Passo 6

Determinar a fase inicial \varphi e comentar o comportamento no instante t=0.
  • Na forma \mathrm{i}(t)=I_p\\ \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) o termo \varphi é a fase inicial. Aqui não há termo adicional dentro do seno além de 250\,t. Logo:
    • \varphi=0\\ \text{rad} (ou 0^\circ).
  • Consequência prática: em t=0
\mathrm{i}(0)=0,4\\ \operatorname{sen}(0)=0\\ \mathrm{A},
e a derivada inicial é positiva (a seno começa subindo), então a onda atravessa a origem no sentido positivo.
Explicação didática: fase nula significa que a senoide está “alinhada” de forma que em t=0 ela passa pela origem subindo.

Passo 7

Representação fasorial e valor eficaz (opcional, útil para provas).
  • A representação fasorial (número complexo) da corrente é
\underline{I}=I_p\angle\varphi=0,4\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Valor eficaz (RMS), se pedir potência ou comparações:
I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{I_p}{\sqrt{2}}=\dfrac{0,4}{\sqrt{2}}\approx 0,283\\ \mathrm{A}.
Pequena aula: o valor RMS é o equivalente contínuo que entrega mesma potência média em carga resistiva.

Passo 8

Pontos importantes para fazer o esboço de \mathrm{i}\times t (passo a passo para desenhar no papel):
  • Amplitude: valores máximos \pm 0,4\\ \mathrm{A}.
  • Período: T\approx 0,02513\\ \mathrm{s}. Marque o eixo do tempo com divisões: 0, T/4, T/2, 3T/4, T.
    • Calcular alguns instantes:
      • Zero inicial: t_0=0 com \mathrm{i}(0)=0.
      • Primeiro máximo: quando \omega t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2\omega}=\dfrac{\pi}{500}\approx 0,006283\\ \mathrm{s} (6,283 ms), valor +\!0,4\\ \mathrm{A}.
      • Primeiro zero positivo seguinte: \omega t=\pi\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{250}\approx 0,012566\\ \mathrm{s} (12,566 ms).
      • Primeiro mínimo: \omega t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow t=\dfrac{3\pi}{500}\approx 0,01885\\ \mathrm{s} (18,85 ms), valor -\!0,4\\ \mathrm{A}.
      • Retorna ao zero em t=T\approx 0,02513\\ \mathrm{s}.
  • Esboço: desenhar uma senoide passando por esses pontos, amplitude \pm 0,4, zeros nos instantes indicados, período marcado entre dois zeros equivalentes.
Dica prática: ao desenhar, marque o eixo vertical com -0,4, 0, +0,4 e o eixo horizontal com os instantes numéricos (em ms). Escreva ao lado: pico 0,4\\ \mathrm{A}, fase 0.

Passo 9

Esboço de \mathrm{i}\times \omega t (gráfico em função da posição angular):
  • Troca de variável: defina \theta=\omega t. Então \mathrm{i}(\theta)=0,4\\ \operatorname{sen}(\theta).
  • No eixo horizontal use \theta em radianos. Um período corresponde a \theta variando de 0 a 2\pi.
  • Pontos-chave em termos de \theta:
    • \theta=0\Rightarrow \mathrm{i}=0.
    • \theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow \mathrm{i}=+\!0,4.
    • \theta=\pi\Rightarrow \mathrm{i}=0.
    • \theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow \mathrm{i}=-\!0,4.
    • \theta=2\pi\Rightarrow \mathrm{i}=0.
  • Esboce a senoide num eixo \theta (0 a 2\pi), com amplitude \pm 0,4. Esse gráfico é útil porque não depende da unidade de tempo: mostra apenas a dependência angular.
Explicação curta: gráfico \mathrm{i}\times\omega t é idêntico à seno padrão com domínio em radianos; útil para comparar fases.

Passo 10

Observação sobre a tensão e vínculo corrente-tensão:
  • Como não foi dada nenhuma tensão nem impedância, não é possível determinar V_p nem esboçar \mathrm{v}(t). Para ter \mathrm{v}(t) seria necessário pelo menos:
    • uma relação \mathrm{v}(t)=R\mathrm{i}(t) (se for carga resistiva com R conhecida), ou
    • a impedância complexa Z para usar \underline{V}=\underline{I}\,Z.
  • Se for desejado, posso mostrar exemplos de como seria \mathrm{v}(t) para cargas puramente resistiva, indutiva ou capacitiva — peça que eu faço isso com números.

Resposta

I_p=0,4\\ \mathrm{A}
\omega=250\\ \mathrm{rad/s}
f=\dfrac{250}{2\pi}\approx 39,79\\ \mathrm{Hz}
T=\dfrac{2\pi}{250}\approx 0,02513\\ \mathrm{s}
fase inicial \varphi=0\\ \mathrm{rad} ( 0^\circ )
V_p: não fornecido (impossível determinar sem informação adicional)

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