B. 4 Para a constante complexa w, prove:
(b) \operatorname{Im}(w)=\left(w-w^{*}\right) / 2 j

Passo 1

O enunciado pede que, para uma constante complexa w, se prove a identidade
\operatorname{Im}(w)=\frac{w-w^{*}}{2j}.
Dados explícitos e o que é pedido:
  • Temos uma constante complexa w.
  • w^{*} denota o conjugado complexa de w.
  • j é a unidade imaginária (ou seja, j^2=-1).
  • A tarefa é demonstrar que a parte imaginária de w, escrita \operatorname{Im}(w), é igual a (w-w^{*})/(2j).

Passo 2

Definição e notação: qualquer número complexo w pode ser escrito em termos das suas partes real e imaginária. Vou chamar a parte real de x e a parte imaginária de y. Assim:
w = x + j y,
onde x=\operatorname{Re}(w) e y=\operatorname{Im}(w), e x,y são números reais. Aqui \operatorname{Im}(w) significa exatamente o número real y.

Passo 3

Definição do conjugado: o conjugado de w, que escrevemos w^{*}, troca o sinal da parte imaginária e deixa a parte real igual. Ou seja, a partir de w = x + j y temos:
w^{*} = x - j y.
Isto é uma propriedade básica do conjugado complexo: ele reflete o ponto no eixo real.

Passo 4

Calcule a diferença w-w^{*} usando as expressões de w e w^{*}. Substituindo:
w-w^{*} = (x + j y) - (x - j y).
Agora desenvolvendo parênteses e simplificando termo a termo:
w-w^{*} = x + j y - x + j y = 2 j y.

Passo 5

Divida a igualdade obtida por 2j. Como 2j\neq 0, a divisão é válida:
\frac{w-w^{*}}{2j} = \frac{2 j y}{2 j} = y.
Aqui houve uma cancelamento óbvio de 2j no numerador e denominador, ficando apenas y. (Se quiser ver de outra forma, note que 1/j=-j porque j(-j)=-j^{2}=1, então a divisão por j é bem definida.)

Passo 6

Concluímos, lembrando que y=\operatorname{Im}(w), que
\frac{w-w^{*}}{2j} = \operatorname{Im}(w).
Isso prova a identidade pedida.

Resposta

\operatorname{Im}(w)=\dfrac{w-w^{*}}{2j}

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