B. 4 Para a constante complexa
, prove:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que, para uma constante complexa
, se prove a identidade
Dados explícitos e o que é pedido:
- Temos uma constante complexa
. -
denota o conjugado complexa de . -
é a unidade imaginária (ou seja, ). - A tarefa é demonstrar que a parte imaginária de
, escrita , é igual a .
Passo 2
Definição e notação: qualquer número complexo
pode ser escrito em termos das suas partes real e imaginária. Vou chamar a parte real de
e a parte imaginária de
. Assim:
onde
e
, e
são números reais. Aqui
significa exatamente o número real
.
Passo 3
Definição do conjugado: o conjugado de
, que escrevemos
, troca o sinal da parte imaginária e deixa a parte real igual. Ou seja, a partir de
temos:
Isto é uma propriedade básica do conjugado complexo: ele reflete o ponto no eixo real.
Passo 4
Calcule a diferença
usando as expressões de
e
. Substituindo:
Agora desenvolvendo parênteses e simplificando termo a termo:
Passo 5
Divida a igualdade obtida por
. Como
, a divisão é válida:
Aqui houve uma cancelamento óbvio de
no numerador e denominador, ficando apenas
. (Se quiser ver de outra forma, note que
porque
, então a divisão por
é bem definida.)
Passo 6
Concluímos, lembrando que
, que
Isso prova a identidade pedida.