B. 5 Dado w=x-j y, determine
(b) \operatorname{Im}\left(e^{w}\right)

Passo 1

O enunciado dá w=x-j y e pede para determinar a parte imaginária de e^{w}, ou seja \operatorname{Im}\!\left(e^{w}\right).
Informações relevantes: x e y são números reais (assumimos x,y\in\mathbb{R}) e j é a unidade imaginária com j^{2}=-1.

Passo 2

Entendendo o que é a parte imaginária: se um número complexo z é escrito na forma z=a+j b, onde a,b\in\mathbb{R}, então a parte imaginária é
\operatorname{Im}(z)=b.
Ou seja, para encontrar \operatorname{Im}\!\left(e^{w}\right) precisamos escrever e^{w} na forma \text{(real)} + j\cdot\text{(imaginário)}á e identificar o coeficiente que multiplica j.

Passo 3

Usando propriedades da exponencial: para quaisquer números (ou complexos) u e v vale e^{u+v}=e^{u}e^{v}. Aplicando isso a w=x-j y obtemos
e^{w}=e^{x-j y}=e^{x}\,e^{-j y}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Euler: para qualquer ângulo real \theta temos
e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta.
Escolhendo \theta=-y (ou usando o fato de que \cos é par e \sin é ímpar) segue que
e^{-j y}=\cos y - j\sin y.

Passo 5

Agora juntamos os resultados: substituindo em e^{w}=e^{x}\,e^{-j y} temos
e^{w}=e^{x}\big(\cos y - j\sin y\big)=e^{x}\cos y - j\,e^{x}\sin y.
Nesta forma, a parte imaginária é o coeficiente que multiplica j, portanto
\operatorname{Im}\!\left(e^{w}\right) = -\,e^{x}\sin y.

Passo 6

Pequena checagem numérica para ganhar confiança: escolha x=0 e y=\pi/2. Então w=-j\pi/2 e
e^{w}=e^{-j\pi/2}=\cos\!\Big(\frac{\pi}{2}\Big)-j\sin\!\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=0-j\cdot1=-j,
cuja parte imaginária é -1. Pela fórmula -e^{x}\sin y obtemos -e^{0}\sin(\pi/2)=-1, concordando com o cálculo direto.

Resposta

\operatorname{Im}\!\left(e^{w}\right)=-e^{x}\sin y

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