B. 5 Dado
, determine
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá
e pede para determinar a parte imaginária de
, ou seja
.
Informações relevantes: e
são números reais (assumimos
) e
é a unidade imaginária com
.
Informações relevantes:
Passo 2
Entendendo o que é a parte imaginária: se um número complexo
é escrito na forma
, onde
, então a parte imaginária é
Ou seja, para encontrar
precisamos escrever
na forma
e identificar o coeficiente que multiplica
.
Passo 3
Usando propriedades da exponencial: para quaisquer números (ou complexos)
e
vale
. Aplicando isso a
obtemos
Passo 4
Aplicando a fórmula de Euler: para qualquer ângulo real
temos
Escolhendo
(ou usando o fato de que
é par e
é ímpar) segue que
Passo 5
Agora juntamos os resultados: substituindo em
temos
Nesta forma, a parte imaginária é o coeficiente que multiplica
, portanto
Passo 6
Pequena checagem numérica para ganhar confiança: escolha
e
. Então
e
cuja parte imaginária é
. Pela fórmula
obtemos
, concordando com o cálculo direto.