Dado um número complexo
, o complexo conjugado deste número é definido em coordenadas retangulares como
. Use este fato para determinar o conjugado complexo na forma polar.
Passo 1
O enunciado dá a definição do conjugado em coordenadas retangulares:
e
. A pergunta é: encontrar a expressão do conjugado complexo
quando o número
está escrito em forma polar. Informações relevantes fornecidas: os componentes retangulares
e
e que o operador conjugação troca o sinal da parte imaginária (ou seja,
).
Passo 2
Vamos lembrar como passamos de retangulares para polares. Definimos o módulo
e o argumento
por
onde
é a função que dá o ângulo correto no plano. Também podemos escrever as coordenadas retangulares em termos de
e
:
Aqui
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.
Passo 3
Usando essas expressões, escrevemos
em termos de
e
:
Esta é a forma polar trigonométrica. Pela fórmula de Euler (explicada no próximo passo) isto também se escreve como uma exponencial complexa.
Passo 4
Agora calculemos o conjugado a partir da forma retangular e substituindo
e
em termos de
:
Portanto o conjugado em forma trigonométrica é
.
Passo 5
Explicando a passagem para a forma exponencial: a fórmula de Euler diz que para todo ângulo
Isto é uma identidade fundamental que relaciona exponencial complexa e funções trigonométricas. Substituindo
por
obtemos
pois
é par e
é ímpar. Assim podemos escrever a forma trigonométrica do conjugado como uma exponencial.
Passo 6
Usando o resultado do passo anterior, concluímos
Isso mostra de forma clara que, em coordenadas polares, a conjugação complexa preserva o módulo
e troca o sinal do argumento
.
Passo 7
Observação sobre casos especiais e um exemplo numérico: se
(ou seja
), o ângulo
não é relevante e
. Exemplo: para
temos
e
, então