Dado um número complexo \omega=x+j y, o complexo conjugado deste número é definido em coordenadas retangulares como \omega^{*}=x-j y. Use este fato para determinar o conjugado complexo na forma polar.

Passo 1

O enunciado dá a definição do conjugado em coordenadas retangulares: \omega = x + j y e \omega^{*} = x - j y. A pergunta é: encontrar a expressão do conjugado complexo \omega^{*} quando o número \omega está escrito em forma polar. Informações relevantes fornecidas: os componentes retangulares x e y e que o operador conjugação troca o sinal da parte imaginária (ou seja, j y \mapsto -j y).

Passo 2

Vamos lembrar como passamos de retangulares para polares. Definimos o módulo r e o argumento \theta por
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta = \operatorname{atan2}(y,x),
onde \operatorname{atan2}(y,x) é a função que dá o ângulo correto no plano. Também podemos escrever as coordenadas retangulares em termos de r e \theta:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.

Passo 3

Usando essas expressões, escrevemos \omega em termos de r e \theta:
\omega = x + j y = r\cos\theta + j\,r\sin\theta = r\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr).
Esta é a forma polar trigonométrica. Pela fórmula de Euler (explicada no próximo passo) isto também se escreve como uma exponencial complexa.

Passo 4

Agora calculemos o conjugado a partir da forma retangular e substituindo x e y em termos de r,\theta:
\omega^{*} = x - j y = r\cos\theta - j\,r\sin\theta = r\bigl(\cos\theta - j\sin\theta\bigr).
Portanto o conjugado em forma trigonométrica é r(\cos\theta - j\sin\theta).

Passo 5

Explicando a passagem para a forma exponencial: a fórmula de Euler diz que para todo ângulo \theta
e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta.
Isto é uma identidade fundamental que relaciona exponencial complexa e funções trigonométricas. Substituindo \theta por -\theta obtemos
e^{-j\theta} = \cos(-\theta) + j\sin(-\theta) = \cos\theta - j\sin\theta,
pois \cos é par e \sin é ímpar. Assim podemos escrever a forma trigonométrica do conjugado como uma exponencial.

Passo 6

Usando o resultado do passo anterior, concluímos
\omega^{*} = r\bigl(\cos\theta - j\sin\theta\bigr) = r e^{-j\theta}.
Isso mostra de forma clara que, em coordenadas polares, a conjugação complexa preserva o módulo r e troca o sinal do argumento \theta.

Passo 7

Observação sobre casos especiais e um exemplo numérico: se r=0 (ou seja \omega=0), o ângulo \theta não é relevante e \omega^{*}=0. Exemplo: para \omega=1+j temos r=\sqrt{2} e \theta=\pi/4, então
\omega^{*}=\sqrt{2}\,e^{-j\pi/4}.

Resposta

\omega^{*}=r e^{-j\theta}

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