Se A=(1,2,3) e B=(-1,2,0), quais as coordenadas do ponto P=(x, y, z) tal que \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{B A} ?

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,2,3) e B=(-1,2,0) e pede as coordenadas do ponto P=(x,y,z) tais que \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}.
Informações relevantes:
  • As coordenadas de A são (1,2,3).
  • As coordenadas de B são (-1,2,0).
  • A condição exigida é que o vetor que vai de A até P seja igual ao vetor que vai de B até A: \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}.
  • Precisamos encontrar x, y e z que satisfaçam essa igualdade vetorial.

Passo 2

Relembrando a definição prática que vamos usar (explicação didática): o vetor que vai de um ponto X=(x_1,x_2,x_3) até um ponto Y=(y_1,y_2,y_3) é dado pelas diferenças das coordenadas:
\overrightarrow{XY} = (y_1-x_1,\; y_2-x_2,\; y_3-x_3).
Isto significa que, para formar o vetor, subtraímos coordenada a coordenada: componente x, componente y e componente z. Dois vetores em \mathbb{R}^3 são iguais se, e somente se, as três componentes correspondentes forem iguais.

Passo 3

Vamos calcular \overrightarrow{BA} aplicando a fórmula do passo anterior com B=(-1,2,0) e A=(1,2,3). Usando
\overrightarrow{BA} = (\,1-(-1),\;2-2,\;3-0\,),
fazendo as subtrações:
\overrightarrow{BA} = (\,2,\;0,\;3\,).
Aqui eu peguei as coordenadas de A e B diretamente do enunciado.

Passo 4

Agora escrevo a expressão de \overrightarrow{AP} em função de P=(x,y,z) e de A=(1,2,3):
\overrightarrow{AP} = (\,x-1,\; y-2,\; z-3\,).
Pela condição do enunciado devemos ter \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}. Substituindo a componente de \overrightarrow{BA} que encontramos no passo anterior, obtemos a igualdade vetorial
(x-1,\; y-2,\; z-3) = (2,\;0,\;3).

Passo 5

Igualando componente a componente (porque vetores em \mathbb{R}^3\) são iguais quando suas três componentes são iguais) temos o sistema de equações: \[\begin{cases} x-1 = 2,\\[4pt] y-2 = 0,\\[4pt] z-3 = 3. \end{cases}
Agora resolvo cada uma:
  • Da primeira: x-1=2\] implica \(x=2+1, logo x=3.
  • Da segunda: y-2=0 implica y=2.
  • Da terceira: z-3=3 implica z=3+3, logo z=6.]

Resposta

(3,2,6)

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