B. 5 Dado
, determine
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá
e pede a parte real de
, isto é, a expressão de
.
Informações fornecidas e suposições: e
são números reais e
é a unidade imaginária (ou seja,
). Não se resolve nada aqui, apenas identificamos o que é pedido.
Informações fornecidas e suposições:
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
e a propriedade fundamental do exponencial complexa que usaremos.
indica a parte real de um número complexo
(aqui
).
A propriedade do exponencial que usaremos é a separação em soma no expoente:
A propriedade do exponencial que usaremos é a separação em soma no expoente:
válida também para
complexos. Também usaremos a fórmula de Euler (que liga exponencial complexa a cosseno e seno):
para qualquer
.
Passo 3
Aplique a propriedade de soma no expoente a
. Escrevemos:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Euler a
. Usando
com
, obtemos
Como
e
, temos
Passo 5
Substituímos essa expressão em
:
Aqui já está explícito qual é a parte real e qual é a parte imaginária: a parte real é o termo sem
.
Passo 6
Identificando a parte real na expressão anterior, concluímos que
Um exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
, cuja parte real é
, compatível com
.