B. 5 Dado w=x-j y, determine
(a) \operatorname{Re}\left(e^{w}\right)

Passo 1

O enunciado dá w = x - j y e pede a parte real de e^{w}, isto é, a expressão de \operatorname{Re}\!\left(e^{w}\right).
Informações fornecidas e suposições: x e y são números reais e j é a unidade imaginária (ou seja, j^{2}=-1). Não se resolve nada aqui, apenas identificamos o que é pedido.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \operatorname{Re}(\cdot) e a propriedade fundamental do exponencial complexa que usaremos.
\operatorname{Re}(z) indica a parte real de um número complexo z=a+b\,j (aqui \operatorname{Re}(z)=a).
A propriedade do exponencial que usaremos é a separação em soma no expoente:
e^{u+v}=e^{u}\,e^{v},
válida também para u,v complexos. Também usaremos a fórmula de Euler (que liga exponencial complexa a cosseno e seno):
e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta,
para qualquer \theta\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplique a propriedade de soma no expoente a \;e^{w}=e^{x-jy}. Escrevemos:
e^{w}=e^{x-jy}=e^{x}\,e^{-j y}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Euler a e^{-j y}. Usando e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta com \theta=-y, obtemos
e^{-j y}=\cos(-y)+j\sin(-y).
Como \cos(-y)=\cos y e \sin(-y)=-\sin y, temos
e^{-j y}=\cos y - j\sin y.

Passo 5

Substituímos essa expressão em e^{w}:
e^{w}=e^{x}\,(\cos y - j\sin y)=e^{x}\cos y - j\,e^{x}\sin y.
Aqui já está explícito qual é a parte real e qual é a parte imaginária: a parte real é o termo sem j.

Passo 6

Identificando a parte real na expressão anterior, concluímos que
\operatorname{Re}\!\left(e^{w}\right)=e^{x}\cos y.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se x=0 e y=\tfrac{\pi}{2}, então e^{w}=1\cdot(\cos\tfrac{\pi}{2}-j\sin\tfrac{\pi}{2})= -j, cuja parte real é 0, compatível com e^{0}\cos(\tfrac{\pi}{2})=0.

Resposta

\displaystyle e^{x}\cos y

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