B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma exponencial/polar na sua forma cartesiana (parte real + parte imaginária). Os dados fornecidos são:
e o número complexo é
Passo 2
Vamos recordar uma fórmula fundamental que liga a forma exponencial/polar à forma cartesiana: a fórmula de Euler.
Aqui
é o ângulo (argumento) em radianos,
é a componente real do ponto no círculo unitário,
é a componente imaginária, e
é a unidade imaginária (satisfaz
).
Passo 3
Aplicando a fórmula de Euler ao nosso número, escrevemos
Isso transforma a exponencial em soma de parte real e imaginação multiplicadas pelo módulo.
Passo 4
Agora precisamos dos valores de
e
. No círculo unitário, o ângulo
(45°) tem coordenadas iguais na abscissa e ordenada, e esses valores valem
Uma maneira rápida de lembrar: num triângulo isósceles de catetos iguais, as razões são
.
Passo 5
Substituindo esses valores em
obtemos
Multiplicando o
por cada termo:
Assim, tanto a parte real quanto a parte imaginária ficam iguais a
.
Passo 6
Escrevendo explicitamente a forma cartesiana (parte real +
vezes parte imaginária):
Se quiser, pode também fatorar: