B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(a) 3 e^{j \pi / 4}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma exponencial/polar na sua forma cartesiana (parte real + parte imaginária). Os dados fornecidos são:
\text{módulo } r = 3,ó
\text{argumento } \theta = \frac{\pi}{4},
e o número complexo é
3e^{j\pi/4}.

Passo 2

Vamos recordar uma fórmula fundamental que liga a forma exponencial/polar à forma cartesiana: a fórmula de Euler.
e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta.
Aqui \theta é o ângulo (argumento) em radianos, \cos\theta é a componente real do ponto no círculo unitário, \sin\theta é a componente imaginária, e j é a unidade imaginária (satisfaz j^2=-1).

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler ao nosso número, escrevemos
3e^{j\pi/4}=3\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{4})+j\sin(\tfrac{\pi}{4})\bigr).
Isso transforma a exponencial em soma de parte real e imaginação multiplicadas pelo módulo.

Passo 4

Agora precisamos dos valores de \cos(\tfrac{\pi}{4}) e \sin(\tfrac{\pi}{4}). No círculo unitário, o ângulo \tfrac{\pi}{4} (45°) tem coordenadas iguais na abscissa e ordenada, e esses valores valem
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2},
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Uma maneira rápida de lembrar: num triângulo isósceles de catetos iguais, as razões são \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Substituindo esses valores em \;3(\cos+\;j\sin)\; obtemos
3e^{j\pi/4}=3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Multiplicando o 3 por cada termo:
3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Assim, tanto a parte real quanto a parte imaginária ficam iguais a \tfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Escrevendo explicitamente a forma cartesiana (parte real + j vezes parte imaginária):
3e^{j\pi/4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}+j\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Se quiser, pode também fatorar:
3e^{j\pi/4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\bigl(1+j\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}+j\frac{3\sqrt{2}}{2}

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