Se A=(1,-1,2) e B=(2,1,-1) determinar um vector não nulo C em V_{3} ortogonal a A e B.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3,
A = (1,-1,2),\quad B=(2,1,-1),
e pede um vetor não nulo C ortogonal a ambos.
Conteúdo principal: produto vetorial em \mathbb{R}^3, que fornece um vetor perpendicular aos dois dados.

Passo 2

O produto vetorial A\times B é definido por
A\times B = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ A_1 & A_2 & A_3\\\ B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix}
e resulta num vetor ortogonal a A e B.

Passo 3

Aplicando a definição, fazemos as co-fatorações:
(A\times B)_1 = A_2\,B_3 - A_3\,B_2 = (-1)\cdot(-1) - 2\cdot1 = 1 - 2 = -1,
(A\times B)_2 = A_3\,B_1 - A_1\,B_3 = 2\cdot2 - 1\cdot(-1) = 4 +1 = 5,
(A\times B)_3 = A_1\,B_2 - A_2\,B_1 = 1\cdot1 - (-1)\cdot2 = 1 +2 = 3.
Logo,
A\times B = (-1,\,5,\,3).

Passo 4

Verificamos que A\times B\neq(0,0,0) e, por construção do produto vetorial, está ortogonal a ambos:
A\cdot(A\times B)=0,\quad B\cdot(A\times B)=0.

Resposta

Um vetor não nulo ortogonal a A e B é
C = (-1,\,5,\,3).

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