(b) Determine quatro termos não nulos das soluções dos seguintes problemas de valor inicial:
(i) l y ^ prime prime + y ^ prime - x y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ^ prime ( 0 ) = 0 , (ii) l y^prime prime+y^prime-x y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema pede para encontrar quatro termos não nulos das soluções de valor inicial para a EDO y''+y'-xy=0, usando séries de potências.

Passo 2

Vamos supor uma solução do tipo y(x)=sumn=0^infty anx^n. Então
y'(x)=sumn=1^infty n anx^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO e igualando coeficientes de x^m obtemos para m=0
2a2+a1=0
e para m>=1
(m+2)(m+1)am+2+(m+1)am+1-am-1=0
ou seja
[a_{m+2}=\frac{-(m+1)a_{m+1}+a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}.)

Passo 4

Caso (i): y(0)=1, y'(0)=0 então a0=1, a1=0 Da relação:
[a_2=-\frac{a_1}{2}=0,\quad a_3=\frac{a_0}{6}=\tfrac16,\quad a_4=-\frac{3a_3}{12}=-\tfrac1{24},\quad a_5=\frac{-4a_4}{20}=\tfrac1{120}.)

Passo 5

Caso (ii): y(0)=0, y'(0)=1 então a0=0, a1=1 Da relação:
[a_2=-\frac{a_1}{2}=-\tfrac12,\quad a_3=\frac{-2a_2}{6}=\tfrac16,\quad a_4=\frac{-3a_3+ a_1}{12}=\tfrac1{24},\quad a_5=\frac{-4a_4+ a_2}{20}=-\tfrac1{30}.)

Resposta

Caso (i): y(x)=1+tfracx^36-tfracx^424+tfracx^5120+cdots
Caso (ii): y(x)=x-tfracx^22+tfracx^36+tfracx^424+cdots

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