(b) Determine quatro termos não nulos das soluções dos seguintes problemas de valor inicial:
(i)
(i)
Passo 1
O problema pede para encontrar quatro termos não nulos das soluções de valor inicial para a EDO
, usando séries de potências.
Passo 2
Vamos supor uma solução do tipo
. Então
Passo 3
Substituindo na EDO e igualando coeficientes de
obtemos para
e para
ou seja
[a_{m+2}=\frac{-(m+1)a_{m+1}+a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}.)
Passo 4
Caso (i):
então
Da relação:
[a_2=-\frac{a_1}{2}=0,\quad a_3=\frac{a_0}{6}=\tfrac16,\quad a_4=-\frac{3a_3}{12}=-\tfrac1{24},\quad a_5=\frac{-4a_4}{20}=\tfrac1{120}.)
Passo 5
Caso (ii):
então
Da relação:
[a_2=-\frac{a_1}{2}=-\tfrac12,\quad a_3=\frac{-2a_2}{6}=\tfrac16,\quad a_4=\frac{-3a_3+ a_1}{12}=\tfrac1{24},\quad a_5=\frac{-4a_4+ a_2}{20}=-\tfrac1{30}.)
Resposta
Caso (i):
Caso (ii):