Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
2.
2.
Passo 1
No enunciado temos a série
. O conteúdo a usar é o teste da integral: definimos a função
, verificamos as condições (positividade e decrescimento) e avaliamos a integral imprópria
.
Passo 2
O teste da integral diz que se
é positiva, decrescente em
e
converge (é finita), então
também converge.
Passo 3
Para x≥1 temos
. Calculamos a derivada:
Como para
vale
, resulta que
. Logo
é decrescente em
.
Passo 4
Avaliamoa integral imprópria:
Usando integração por partes com
e
, obtemos:
O termo de fronteira vale
e
é finito (é a cauda da função erro). Portanto
.
Passo 5
Como
converge, pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.