Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
2. sumn=1^infty n^2 e^-n^2

Passo 1

No enunciado temos a série sumn=1^inftyn^2e^-n^2. O conteúdo a usar é o teste da integral: definimos a função f(x)=x^2e^-x^2, verificamos as condições (positividade e decrescimento) e avaliamos a integral imprópria integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

O teste da integral diz que se f(x) é positiva, decrescente em [1,infty) e integral1^inftyf(x),dx converge (é finita), então sumn=1^inftyf(n) também converge.

Passo 3

Para x≥1 temos f(x)=x^2e^-x^2>0. Calculamos a derivada:
f'(x)=2x e^-x^2-2x^3e^-x^2=2x e^-x^2(1-x^2)
Como para x>1 vale 1-x^2<0, resulta que f'(x)<0. Logo f é decrescente em [1,infty).

Passo 4

Avaliamoa integral imprópria:
I=integral1^inftyx^2e^-x^2,dx
Usando integração por partes com u=x e dv=x e^-x^2dx, obtemos:
I=l[-tfrac12x e^-x^2r]1^infty+tfrac12integral1^inftye^-x^2,dx
O termo de fronteira vale 0-(-tfrac12e)=tfrac12e e integral1^inftye^-x^2dx é finito (é a cauda da função erro). Portanto I.

Passo 5

Como integral1^inftyx^2e^-x^2,dx converge, pelo teste da integral a série sumn=1^inftyn^2e^-n^2 também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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