(b) Encontre a fórmula da distância de dois pontos com coordenadas polares dadas por (
) e
.
(a) Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares dadas por
e
;
(a) Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares dadas por
Passo 1
O enunciado faz duas coisas:
- (b) Pede a fórmula geral da distância entre dois pontos cujas coordenadas polares são
e . - (a) Pede a distância numérica entre os pontos
e .
Informações fornecidas explicitamente:
e no item (a)
Passo 2
Vamos lembrar como passar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas (isso é essencial para relacionar distância com trigonometria). A conversão é:
Aqui
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Para os dois pontos:
Explico por que usamos isso: a fórmula da distância entre dois pontos no plano em coordenadas cartesianas é simples e básica — daí a conversão.
Passo 3
Usamos a fórmula da distância entre pontos em coordenadas cartesianas:
Substituindo as expressões em termos de
e
obtemos:
Agora expandimos os quadrados (faça isso devagar na prova):
Agrupando os termos com
e
e os produto misto:
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
, então:
Repare que a soma
é exatamente a identidade do cosseno da diferença de ângulos:
(Substituir isso é padrão; você pode memorizar ou relembrar a demonstração a partir da fórmula de adição de cossenos.) Assim temos a forma compacta:
Tomando raiz quadrada positiva:
Isto responde o item (b). Optei por esta derivação porque usa apenas conversão cartesiana, álgebra elementar e a identidade
— ferramentas bem básicas e rápidas de aplicar na prova.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao caso numérico do item (a). Temos
Calcule a diferença de ângulos:
Como
é função par,
. Vamos calcular
de forma exata observando que
Usando a fórmula de cosseno de soma:
Substituindo valores exatos:
obtemos
Agora aplicamos a fórmula da distância:
Calcule o produto:
Portanto
e então a distância é
Se você quiser uma aproximação numérica (útil na prova quando pedem valor), calcule:
Resposta
(b)
(a)
(a)