(b) Encontre a fórmula da distância de dois pontos com coordenadas polares dadas por ( r_{1}, \theta_{1} ) e \left(r_{2}, \theta_{2}\right).
(a) Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares dadas por (1, \pi / 6) e (3,3 \pi / 4);

Passo 1

O enunciado faz duas coisas:
  • (b) Pede a fórmula geral da distância entre dois pontos cujas coordenadas polares são (r_{1},\theta_{1}) e (r_{2},\theta_{2}).
  • (a) Pede a distância numérica entre os pontos (1,\pi/6) e (3,3\pi/4).
Informações fornecidas explicitamente:
(r_{1},\theta_{1}),\qquad (r_{2},\theta_{2})
e no item (a)
r_{1}=1,\\ \theta_{1}=\pi/6,\qquad r_{2}=3,\\ \theta_{2}=3\pi/4.

Passo 2

Vamos lembrar como passar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas (isso é essencial para relacionar distância com trigonometria). A conversão é:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui \,r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Para os dois pontos:
x_{1}=r_{1}\cos\theta_{1},\quad y_{1}=r_{1}\sin\theta_{1},
x_{2}=r_{2}\cos\theta_{2},\quad y_{2}=r_{2}\sin\theta_{2}.
Explico por que usamos isso: a fórmula da distância entre dois pontos no plano em coordenadas cartesianas é simples e básica — daí a conversão.

Passo 3

Usamos a fórmula da distância entre pontos em coordenadas cartesianas:
d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}.
Substituindo as expressões em termos de r e \theta obtemos:
d=\sqrt{\big(r_{1}\cos\theta_{1}-r_{2}\cos\theta_{2}\big)^{2}+\big(r_{1}\sin\theta_{1}-r_{2}\sin\theta_{2}\big)^{2}}.
Agora expandimos os quadrados (faça isso devagar na prova):
\begin{aligned} d^{2} &= r_{1}^{2}\cos^{2}\theta_{1}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+r_{2}^{2}\cos^{2}\theta_{2}\\\ &\quad + r_{1}^{2}\sin^{2}\theta_{1}-2r_{1}r_{2}\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+r_{2}^{2}\sin^{2}\theta_{2}. \end{aligned}
Agrupando os termos com r_{1}^{2} e r_{2}^{2} e os produto misto:
\begin{aligned} d^{2} &= r_{1}^{2}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})+r_{2}^{2}(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2})\\\ &\quad -2r_{1}r_{2}\big(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\big). \end{aligned}
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1, então:
d^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\big(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\big).
Repare que a soma \cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} é exatamente a identidade do cosseno da diferença de ângulos:
\cos(\theta_{1}-\theta_{2})=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}.
(Substituir isso é padrão; você pode memorizar ou relembrar a demonstração a partir da fórmula de adição de cossenos.) Assim temos a forma compacta:
d^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}).
Tomando raiz quadrada positiva:
d=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}.
Isto responde o item (b). Optei por esta derivação porque usa apenas conversão cartesiana, álgebra elementar e a identidade \cos(a-b) — ferramentas bem básicas e rápidas de aplicar na prova.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao caso numérico do item (a). Temos
r_{1}=1,\quad \theta_{1}=\pi/6,\qquad r_{2}=3,\quad \theta_{2}=3\pi/4.
Calcule a diferença de ângulos:
\theta_{1}-\theta_{2}=\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}=\frac{2\pi-9\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}.
Como \cos é função par, \cos(-7\pi/12)=\cos(7\pi/12). Vamos calcular \cos(7\pi/12) de forma exata observando que
\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\quad(\text{ou seja }60^\circ+45^\circ).
Usando a fórmula de cosseno de soma:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}.
Substituindo valores exatos:
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\quad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},
obtemos
\cos\!\left(\frac{7\pi}{12}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.
Agora aplicamos a fórmula da distância:
\begin{aligned} d^{2} &= r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\\\ &=1^{2}+3^{2}-2\cdot 1\cdot 3\cdot\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{12}\right)\\\ &=1+9-6\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{12}\right)\\\ &=10-6\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}. \end{aligned}
Calcule o produto:
-6\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\frac{-6\sqrt{2}+6\sqrt{6}}{4}=\frac{-3\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{2}.
Portanto
d^{2}=\frac{20-3\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{2},
e então a distância é
d=\sqrt{\dfrac{20-3\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{2}}.
Se você quiser uma aproximação numérica (útil na prova quando pedem valor), calcule:
\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{12}\right)\approx -0{,}258819\quad\Rightarrow\quad d\approx 3{,}399.

Resposta

(b) \displaystyle d=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}
(a) \displaystyle d=\sqrt{\dfrac{20-3\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{2}}\approx 3{,}399

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