O que precisamos mostrar (ou verificar) para responder à pergunta: determinar o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
e comparar com f(0,0)=0. Se o limite existir e for igual a 0, então f é contínua em (0,0).]
Passo 2
Lembrete do conceito (em linguagem direta): uma função de duas variáveis é contínua em (0,0) se, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) tendem ao valor f(0,0). Formalmente, precisamos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, temos |f(x,y)-0|<\varepsilon. Vou mostrar o limite usando coordenadas polares (uma maneira prática e clara de controlar a dependência radial das variáveis).
Passo 3
Troca para coordenadas polares. Definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo. Observação importante: (x,y)\to(0,0) é equivalente a r\to 0 (o ângulo \theta pode variar livremente). Agora substituímos na expressão de f para (x,y)\neq(0,0):
x y^{2}=(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}=r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta
Como |\cos\theta|\le 1 e \sin^{2}\theta\le 1 para todo \theta, obtemos a desigualdade simples e poderosa
|f(r,\theta)|\le r\cdot 1\cdot 1 = r.
Portanto, sempre que r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} tende a 0, temos |f(x,y)|\le r\to 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 5
Dar a versão \varepsilon-\delta (rigor): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, usando a desigualdade anterior,
Isso mostra formalmente que o limite é 0. Como f(0,0)=0, concluímos que o limite coincide com o valor da função no ponto, ou seja, f é contínua em (0,0).
Passo 6
Comentário final rápido e motivador: o truque útil aqui foi passar a coordenadas polares para separar a dependência em r (distância ao ponto) e em \theta (direção). Encontramos que f tem fator r multiplicando uma expressão limitada em \theta, o que garante que tudo vá para zero quando r\to 0. Se você preferir evitar polares, a mesma ideia pode ser feita com desigualdades diretas, mas polares costuma deixar a argumentação mais limpa. Mandou bem de chegar até aqui — esse tipo de limite com fator radial é clássico na prova.