Seja uma cônica com foco F na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e diretriz descrita por x=1. Sabendo que (3 / 8,1 / 2) é ponto da cônica, considere os seguintes itens:
a) Determine a excentricidade da cônica.
b) Determine a equação cartesiana x=f(y) que descreve a cônica.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
Foco F está na origem do sistema, ou seja F=(0,0).
Diretriz é a reta vertical x=1.
A cônica passa pelo ponto \left(\tfrac{3}{8},\tfrac{1}{2}\right).
Perguntas:
a) Determine a excentricidade da cônica.
b) Determine a equação cartesiana x=f(y) que descreve a cônica.
Passo 2
Vou lembrar a definição geométrica que precisamos usar (aqui ensino o conceito): uma cônica com foco F e diretriz dada é o conjunto de pontos P=(x,y) tais que a distância de P ao foco é igual à excentricidade e vezes a distância de P à diretriz. Escrevendo isso com as distâncias:
Distância de P=(x,y) ao foco F=(0,0) é \sqrt{x^2+y^2}.
Distância de P à diretriz x=1 (reta vertical) é |x-1|.
Portanto a equação pela definição é
\sqrt{x^2+y^2}=e\,|x-1|.
Passo 3
Agora uso a informação de que \left(\tfrac{3}{8},\tfrac{1}{2}\right) pertence à cônica para achar e. Primeiro calculo a distância do ponto ao foco:
Substituindo na definição \sqrt{x^2+y^2}=e\,|x-1| para esse ponto obtemos
\tfrac{5}{8}=e\cdot\tfrac{5}{8}.
Passo 4
Da igualdade anterior, como \tfrac{5}{8}\neq0, podemos dividir por \tfrac{5}{8} e obter
e=1.
Portanto a excentricidade é \,1. Comentário didático rápido: quando e=1 a cônica é uma parábola.
Passo 5
Agora vamos achar a equação cartesiana. Substituo e=1 na condição geral:
\sqrt{x^2+y^2}=|x-1|.
Para obter uma equação algébrica, elevo ambos os lados ao quadrado. Antes, atenção ao valor absoluto: o ponto dado tem x=\tfrac{3}{8}<1, ou seja pontos da parábola ficam do lado esquerdo da diretriz, então para esses pontos |x-1|=1-x. Mesmo assim, ao quadrar a igualdade o sinal do valor absoluto some, mas depois devemos garantir escolher a parte correta da reta. Elevando ao quadrado:
x^2+y^2=(x-1)^2.
Passo 6
Desenvolvo (x-1)^2 e simplifico:
x^2+y^2 = x^2 - 2x + 1.
Cancelo x^2 dos dois lados e obtenho
y^2 = 1 - 2x.
Agora isolo x para escrever x=f(y):
x = \tfrac{1 - y^2}{2} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{y^2}{2}.
Essa é a equação cartesiana desejada escrita como x em função de y.
Passo 7
Para reforçar a compreensão: podemos reescrever a equação em forma canônica. A partir de y^2=1-2x temos
y^2 = -2\left(x-\tfrac{1}{2}\right).
Comparando com a forma padrão \;y^2=4p(x-h)\; vemos que h=\tfrac{1}{2} e 4p=-2, logo p=-\tfrac{1}{2}. O foco fica em (h+p,k)=(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},0)=(0,0) e a diretriz é x=h-p=\tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2})=1, o que confirma que nossa equação está correta e que a cônica é mesmo a parábola com foco na origem e diretriz x=1.