(b) Se f:[a, b] R é uma função côncava e f^prime(x0)=0, em que x in] a, b[, então x0 é máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável e côncava em [a,b] e que o ponto crítico x₀ (isto é, f′(x₀)=0) está em (a,b). Queremos mostrar que esse x₀ é ponto de máximo absoluto de f.

Passo 2

Para funções diferenciáveis e côncavas vale a propriedade geométrica de que o gráfico de f fica sempre abaixo de qualquer de suas retas tangentes. Em termos de desigualdade, para todo x em [a,b] temos:
f(x) <= f(x₀) + f'(x₀),(x - x₀)

Passo 3

Substituindo f′(x₀)=0 nessa desigualdade obtemos uma reta tangente horizontal e, portanto:
f(x) <= f(x₀) + 0cdot(x - x₀) = f(x₀)
Isso vale para todo x em [a,b], mostrando que f(x) nunca ultrapassa f(x₀).

Passo 4

Logo, f(x₀) ≥ f(x) para todo x em [a,b], o que significa que x₀ é ponto de máximo absoluto de f.

Resposta

x_{0} é máximo absoluto de f.

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