(b) Se
é uma função côncava e
, em que
, então
é máximo absoluto.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável e côncava em [a,b] e que o ponto crítico x₀ (isto é, f′(x₀)=0) está em (a,b). Queremos mostrar que esse x₀ é ponto de máximo absoluto de f.
Passo 2
Para funções diferenciáveis e côncavas vale a propriedade geométrica de que o gráfico de f fica sempre abaixo de qualquer de suas retas tangentes. Em termos de desigualdade, para todo x em [a,b] temos:
Passo 3
Substituindo f′(x₀)=0 nessa desigualdade obtemos uma reta tangente horizontal e, portanto:
Isso vale para todo x em [a,b], mostrando que f(x) nunca ultrapassa f(x₀).
Passo 4
Logo, f(x₀) ≥ f(x) para todo x em [a,b], o que significa que x₀ é ponto de máximo absoluto de f.
Resposta
x_{0} é máximo absoluto de f.