© Se
é uma função diferenciável, estritamente crescente, estritamente côncava e com
, então
apresenta elasticidade menor do que 1 em todo o seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, sob as hipóteses de f: ℝ₊→ℝ diferenciável, estritamente crescente, estritamente côncava e f(0)=0, a elasticidade de f em qualquer x>0 é menor que 1. Vamos usar a definição de elasticidade e a propriedade de tangente de uma função côncava.
Passo 2
A elasticidade de f em x é definida como
Queremos mostrar que E(x)<1 para todo x>0.
Passo 3
Como f é diferenciável e estritamente côncava, o gráfico de f fica estritamente abaixo de qualquer reta tangente. Isso significa que, para todo x>0 e para y≠x, vale
Passo 4
Escolhendo y=0 na desigualdade acima, obtemos
Como f(0)=0, segue
Passo 5
Dividindo ambos os lados por f(x)>0 (já que f é estritamente crescente e f(0)=0), concluímos
isto é, E(x)<1 para todo x>0.
Resposta
A elasticidade de f satisfaz
para todo
.