© Se f: R+ R é uma função diferenciável, estritamente crescente, estritamente côncava e com f(0)=0, então f apresenta elasticidade menor do que 1 em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sob as hipóteses de f: ℝ₊→ℝ diferenciável, estritamente crescente, estritamente côncava e f(0)=0, a elasticidade de f em qualquer x>0 é menor que 1. Vamos usar a definição de elasticidade e a propriedade de tangente de uma função côncava.

Passo 2

A elasticidade de f em x é definida como
E(x)=f'(x),xf(x)
Queremos mostrar que E(x)<1 para todo x>0.

Passo 3

Como f é diferenciável e estritamente côncava, o gráfico de f fica estritamente abaixo de qualquer reta tangente. Isso significa que, para todo x>0 e para y≠x, vale
f(y)

Passo 4

Escolhendo y=0 na desigualdade acima, obtemos
f(0)
Como f(0)=0, segue
0

Passo 5

Dividindo ambos os lados por f(x)>0 (já que f é estritamente crescente e f(0)=0), concluímos
f'(x)xf(x)<1,
isto é, E(x)<1 para todo x>0.

Resposta

A elasticidade de f satisfaz E(x)=f'(x)xf(x)<1 para todo x>0.

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